三元一次方程组的解法2教学设计与反思

潜江市曹禺中学

8.4 三元一次方程组的解法2教学设计

（曹禺中学 李新月）

一、内容和内容解析

1、内容

会用加减消元法解三元一次方程组。

2、内容解析

本节课内容选自人教版七年级数学下册第八章第四节第2课时。在此之前，学生学习了如何求解一元一次方程，如何用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组，同时，也学习了三元一次方程组的概念及运用代入消元法解三元一次方程组，因此，学生具备了学习另一种消元方法——加减消元法解三元一次方程组的能力。在学习的过程中，让学生经历和体验把实际问题转化为三元一次方程组，并进一步让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，即将未知的解三元一次方程组的问题转化为熟悉的解二元一次方程组的问题进而转化为一元一次方程的问题，最终求得三元一次方程组的解。这样有利于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元思想以及体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识。理解并掌握解三元一次方程组的基本方法，也为以后求二次函数解析式打下基础。同时，例题的选取也是从实际出发，让学生初步体会到数学与人们的日常生活是密切相联的，体会到数学在社会生活中的作用，激发学生学习数学的兴趣，使学生学会从数学的角度分析和解决简单的实际问题。

二、目标与目标解析

1、目标

（1）知识与技能：学会利用加减消元法解三元一次方程组，并学会运用三元一次方程组解决一些简单的实际问题。

（2）过程与方法：在解三元一次方程组过程中经历从未知向已知转化的过程，感受消元转化的数学思想。

（3）情感态度与价值观：培养学生迁移运用的能力及勇于探索的精神。

2、目标解析

达成目标（1）的标志是：学生掌握加减消元法的一般步骤，并能正确求出简单的三元一次方程组的解。

达成目标（2）的标志是：学生在经历探究的过程中，体会三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法以及一元一次方程的解法的联系，进一步体会消元思想和化归思想。

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达成目标（3）的标志是：学生在用方程解决实际问题的过程中，体验了数学的实用性，敢于发表自己的见解，理解其他同学的看法并与其他同学交流。

三、教学问题诊断分析

本节内容首先根据实际问题中的数量关系，找出等量关系，感受方程就是将众多的实际问题“数学化”的一个重要的模型。然后列出三元一次方程组，类比二元一次方程组的解法，探索出解决三元一次方程组的基本思想和步骤。因为解三元一次方程组的步骤较多，所以需要理解每一步的目的和依据，正确的进行操作，灵活地运用加减消元法，把消元转化的过程分解细化，逐一实施。同时，在教学过程中还需提醒学生注意用加减消元法解三元一次方程组时消去方程中哪个未知元更简捷，并且在消去一个未知数得出比原方程少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次，并且每次消元必须消的是同一个未知元。

四、教学过程设计

1、自主学习

教师：在***的号召下，各大校园的足球比赛正如火如荼的进行着，其中也包括我们潜江市曹禺中学,大家请看我们学校足球赛场上的精彩瞬间。其中在曹禺中学第三届校园足球联赛第一轮预赛中，勇士队参加了10场比赛，按照胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分的比赛规则，共得21分。已知勇士队在比赛中胜的场数与平的场数之和减去负的场数刚恰好等于8，那么勇士队在预赛中胜、平、负的场数各是多少？

学生：学生们感同身受，脸上洋溢着想要迫切了解的表情。

【设计意图】：唤起学生学习的兴趣，通过学生身边的例子，极大地调动学生学习的积极性，并引出问题。

教师：这个问题中包含几个未知数？有几个等量关系，分别是什么？同学们能设出未知数列出方程吗？

学生活动：学生积极回应，举手回答。

解：设勇士队在第二轮比赛中，胜、平、负的场数分别是x、y、z场，根xyz10据题意，有3xy21

xyz8【设计意图】：学生在已有的知识经验的基础上，让学生根据实际问题列三元一次方程组。

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教师：根据前面所学的概念，这是一个什么方程组吗？那么我们如何解出这个三元一次方程组呢？

教师：我们知道，我们已经学习了用加减消元法解二元一次方程组，它们的基本思想是什么？基本思路又是什么？那么你能类比二元一次方程组的解法去解这个三元一次方程组吗？

师生回顾：用加减消元法解二元一次方程组的基本思路是将这两个方程相加减，消去其中一个未知元，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程，也就是将新知识转化为旧知识，它的基本思想就是“消元”思想。

【设计意图】：引导学生类比解二元一次方程组的思想方法，自主探索出解三元一次方程组的方法。

教师：大家能按照老师的提示自主探究吗？

学生：学生自主学习探究，教师在学生自主探究的过程中进行个别的指导，让学生充分地思考和探究。

【设计意图】：教师让学生有自主探讨的过程，帮助学生掌握用加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的基本思想，

学生活动：请学生在黑板上板书，并对照自己的探究成果向同学们讲解自己的解题思路和过程。

【设计意图】：让学生们充分参与课堂，活跃课堂氛围，真正成为课堂的主体。同时，小小老师的思路讲解，让学生们能更好地接受，更好地理解，也让同学们感到无比的亲切。

师生总结：归纳解三元一次方程组的基本思想和思路。

教师：教师再利用多媒体总结并进一步强调解三元一次方程组的基本思想和思路，让学生加深理解。

解三元一次方程组的方法2：通过加减进行消元,把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而转化为解一元一次方程。

即：三元一次方程组

消元 二元一次方程组

消元 一元一次方程

【设计意图】：教师用多媒体进行同步演示，进一步加深学生们的认识和理解。

教师提问：在上面这个例子将三元一次方程组转化为二元一次方程组的过程中，消去哪个未知元更简便呢？

学生活动：举手回答。

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师生总结：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程，则将另外两个方程进行加减消元，消元时就消去这个二元一次方程中没有的那个未知元。缺某元，消某元。

【设计意图】：通过上面这个例子，引导学生学会总结经验，获得一些解题的小技巧。即当我们解三元一次方程组时，我们应该先消哪一个未知元更简便或者说计算量会相对较小。

2、合作探究

由此，我们知道，勇士队在校足球赛的预赛中取得了胜利，顺利地闯进了半决赛，那么，你们想不想知道他们半决赛的比分如何？到底有没有冲入决赛呢？

【设计意图】：激发学生的探索兴趣，进一步引导学生合作探究。

据了解：若勇士队和另外两队在半决赛中的比赛分数用a,b,c表示，那么他们的分数满足关系式且若x=-1，则y=14;若x=-2，则y=52;yax2bxc

，若x=2，则y=116,那么请问勇士队在这场校园足球半决赛中能否进入决赛呢？

学生活动：依题意列出三元一次方程组，并尝试解答。

学生活动：请某位学生利用展示台展示自己的解题过程并说明理由。

【设计意图】：为了让学生敢于展示自我，学生根据刚学的解题思路选择适当的解法，同时在展台上展示出解这个三元一次方程组的过程。三元一次方程组的解法是学习二次函数的基础。在练习三元一次方程组的解法的过程中，让学生再次感受解方程组的思路，即从多元向一元转化。

教师追问：在解这个三元一次方程组并将其转化为二元一次方程组的过程中，我们是不是一定要消这个未知元呢？能不能消别的未知元？消哪一个未知元更简便呢？

学生活动：学生小组讨论，随后学生举手回答自己不同的思路。如果先消其它的未知元能不能解出这个三元一次方程组，那么你认为对于这个三元一次方程组先消哪个未知元更简便呢？

教师：老师用多媒体展示消不同的未知元的解题过程。

【设计意图】：教师分别展示将三元一次方程组转化为二元一次方程组的过程中消去不同未知元的解题步骤，并带着学生一起比较同一个方程消去不同未知元时的计算量的大小，最后教师和学生一起得出结论。

师生总结：如果三个方程中都含有三个未知元，则选择先消去系数的绝对值相对较小的那个未知元，从而降低运算难度，提高解方程的准确性。

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教师追问2：那么，老师还有一个疑问：请问在将三元一次方程组转化为二元一次方程组的过程中，能不能先消其中一个未知元，然后再消另外一个未知元呢？

学生活动：学生相互交流，随后并请学生举手回答自己不同的思路。

师生总结：在将三元一次方程组转化为二元一次方程组的过程中，利用加减消元法消去未知元时必须消去同一个未知元，才能将“三元”方程组成功的转化为“二元”方程组。

【设计意图】：多让学生想一想，多交流，学生的交流过程就是一个相互学习的过程，让学生分析解题思路，并对比出消哪一个未知元计算量更小或计算过程更简便，从中学生可以发现消元的方法也有优劣之分，从而学会选择。

3、精讲点拨

由此，我们知道勇士队进决赛啦！那么勇士队最终能获得冠军吗？据了解勇士队和另外两队在决赛中的得分之比为3：2：1 ，且三支队伍总分之和为36分，那你知道勇士队在决赛中能否取得胜利吗？ 学生：根据题意，列出三元一次方程组。

学生活动：学生争相抢答。

教师：那么如何解出这个三元一次方程组呢？（老师带领着学生一起分析）

教师：通过观察方程①我们知道他是一个关于x,y,z的比例关系，凭我们已有的经验知道：只要遇到比例关系的条件，我们就按照这个比例关系设参数，从而利用这个比例关系的条件。所以我们设x=3k,y=2k,z=k，这个时候，我们发现x、y、z三个未知元均由含k的式子代替了，然后我们只需将x=3k,y=2k,z=k代入第二个方程就可直接得到一个一元一次方程。

教师总结：三元一次方程组 消元 一元一次方程

【设计意图】：学生根据老师的引导解题，同时感受将“三元”一步转化为“一元”的过程，并尝试找出不同的解题方法，同时对三元一次方程组解法的进一步练习，不仅可以开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且通过类比，学生学会在解题时观察题目的特点，从而找到最适合最简便的解题方法，更有助于学生不断探索新的方法，掌握更多的解题技巧。

4、当堂检测

考一考，大家能用刚才所学的知识解决下列问题吗？

问题：小明手头有10张面额分别为1元、5元、10元的纸币，共计50元，其中1元纸币的数量是5元纸币数量的5倍。求1元、5元、10元纸币各多少张？

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教师引导：（1）这个问题中包含几个等量关系？（2）这个问题中包含几个未知数？

学生活动：学生举手回答，并列出相应的方程组。

解：设1元、5元、10元的纸币分别为x张、y张、z张

根据题意，可以得到下面三个方程：

xyz10x5y10z50

x5y教师：请大家利用所学解出这个三元一次方程组。

学生活动：请某位学生在讲台上展示自己的解题过程并阐述解题思路。

教师：有没有不一样的解法呢？

学生活动：请学生2在讲台上展示自己的不一样的解题过程并阐述解题思路。

【设计意图】：本题主要考察学生是否灵活运用代入法消元和加减消元解三元一次方程组，其中加减消元法更常用，同时检验学生是否学会用三元一次方程组解决一些简单的实际问题。

5、归纳总结

回顾本节课的学习过程，回答并归纳以下问题：

（1）解三元一次方程组的基本思想是什么？

（2）用加减消元法解三元一次方程组的基本步骤是什么？

（3）在探究解法的过程中用到了什么数学思想方法？

【设计意图】：让学科代表总结本节课的主要内容和基本思想方法。

6、布置作业

教材第106页练习第1、2题。

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