菱形的判定课时教案

第一章

特殊平行四边形

1．1 菱形的性质与判定

第1课时

菱形的性质

1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．

2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力．(重难点)

阅读教材P2～4，完成下列问题：

(一)知识探究

1．有一组________________的平行四边形叫做菱形．

2．菱形具有________________的一切性质．

3．菱形是________图形，它的____________________就是它的对称轴．它有________对称轴，两条对称轴互相垂直．

4．菱形的四条边都相等．

5．菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分一组________．

(二)自学反馈

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O. (1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2)有哪些特殊的三角形？

活动1 小组讨论

例1

已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；

(2)AC⊥BD.

证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．

又∵AB＝AD，

∴AB＝BC＝CD＝AD. (2)∵AB＝AD，

∴△ABD是等腰三角形．

又∵四边形ABCD是菱形，

∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)．

在等腰三角形ABD中，

∵OB＝OD，

∴AO⊥BD，

即AC⊥BD.

例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，

AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，

11OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分)．

22在等腰三角形ABD中，

∵∠BAD＝60°，

∴△ABD是等边三角形．

∴AB＝BD＝6. 222在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＋OB＝AB. ∴OA＝AB－OB＝6－3＝33. ∴AC＝2OA＝63.

此题由菱形的性质可知AB＝AD，结合∠BAD＝60°，即可得到△ABD是等边三角形，从而可求AB的长度．再根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO，继而求出AC. 活动2 跟踪训练

1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(

) A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC 2222

2．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的边长为(

) A．5 B．10 C．6 D．8

3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为(

) 22 A．3 cm B．4 cm

C.3 cm D．23 cm

4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于________．

22

5．如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，连接AE、CE，请找出图中一对全等三角形为________________．

16．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E.求证：DE＝BE. 2

活动3 课堂小结

1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的四条边相等．

3．菱形的对角线互相垂直．

【预习导学】

(一)知识探究

1．邻边相等

2.平行四边形

3.轴对称

对角线所在的直线

两条

5.互相垂直

对角

(二)自学反馈

(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD. 相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA，∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD，

直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA. 【合作探究】

活动2

跟踪训练

1．B 2.A 3.D 4.5 5.△ABD≌△CBD或△ADE≌△CDE或△ABE≌△CBE 6.证明：∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA.又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD.∵DE∥AC，∴四边1形ACED为平行四边形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC.∴DE＝CE＝BC.∴DE＝BE. 2

第2课时

菱形的判定

1．理解并掌握菱形的定义及其两个判定方法．(重点) 2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．(难点)

阅读教材P5～7，完成下列问题．

(一)知识探究

1．有一组________的平行四边形是菱形．

2．对角线________的平行四边形是菱形．

3．________的四边形是菱形．

(二)自学反馈

判断下列说法是否正确：

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(

) (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(

) (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(

) (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．(

)

活动1 小组讨论

例1

已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD，

∴BD是线段AC的垂直平分线．

∴BA＝BC. ∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)．

有一组邻边相等的四边形是菱形．

例2

已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，OA＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形．

证明：在△AOB中，∵AB＝5，OA＝2，OB＝1，

222∴AB＝AO＋OB. ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．

∴AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

活动2 跟踪训练

1．如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是(

) A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD

2．如图，已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是(

) A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CD C．AD为中线 D．EF⊥AD

3．将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形(

)

A．三角形 B．不规则的四边形

C．菱形 D．一般平行四边形

4．如图所示，在▱ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则▱ABCD的周长是________．

5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：

(1)△ADE≌△CDF；

(2)四边形ABCD是菱形．

活动3 课堂小结

菱形常用的判定方法：

1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

3．有四条边相等的四边形是菱形．

【预习导学】

(一)知识探究

1．邻边相等

2.互相垂直

3.四边相等

(二)自学反馈

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

【合作探究】

活动2

跟踪训练

1．D 2.C 3.C 4.24 5．证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AED＝∠CFD，∠A＝∠C.∵在△AED和△CFD中，∠A＝∠C，∴△AED≌△CFD(AAS)．

DE＝DF，(2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．

第3课时

菱形的性质与判定的运用

1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．(重难点) 2．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．

阅读教材P8～9，能灵活运用菱形的性质及判定．

自学反馈

如图所示：在菱形ABCD中，AB＝6.

(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

(2)对角线AC与BD有什么位置关系？

(3)若∠ADC＝120°，求AC的长；

(4)求菱形ABCD的面积．

活动1 小组讨论

例

如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长为10 cm.

求：(1)对角线AC的长度；

(2)菱形ABCD的面积．

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠AED＝90°，

11DE＝BD＝×10＝5(cm)．

22∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：

AE＝AD－DE＝13－5＝12(cm)．

∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)．

(2)S菱形ABCD＝S△ABD＋S△CBD

1＝2×S△ABD＝2××BD×AE 2＝BD×AE＝10×12＝120(cm)．

菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2. 活动2 跟踪训练

1．如图，菱形ABCD的周长为40 cm，它的一条对角线BD长10 cm，则∠ABC＝________°，AC＝________cm. 22222

2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个2菱形的面积是________cm.

3．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形．

活动3 课堂小结

通过本节课的学习你有哪些收获，还存在什么疑问？

【预习导学】

自学反馈

(1)6，6，6.(2)互相垂直平分．(3)63.(4)183. 【合作探究】

活动2

跟踪训练

1．120 103 2.16 3．证明：∵MN垂直平分AC，∴AD＝DC，AE＝EC.由CE∥AB得∠DAO＝∠ECO，∠ADO＝∠CEO.又AO＝CO，∴△ADO≌△CEO.∴AD＝CE.∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AD＝DC.故四边形ADCE是菱形.