*5 一元二次方程的根与系数的关系精品学案

《一元二次方程根与系数的关系》教学设计

大荔县城关初中 郗晓春

教材依据

北京师范大学出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）2.5一元二次方程根与系数的关系．

设计思路

一、指导思想

新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了一元二次方程根与系数的关系这节课。

二、设计理念

本节课授课班级的学生已会用配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，提高学生在动1

手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，从而提高课堂教学的效率。

三、教材分析

本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“了解一元二次方程根与系数的关系。”设计本节课是学生在已经学习了求根公式为基础的上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《一元二次方程根与系数的关系》设定为一节课（探索及其简单应用）。本节课为选学内容，所以在利用根与系数关系解决问题时需酌情控制难度。

四、学情分析

学生已掌握了用求根公式法解一元二次方程。本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

教学目标

知识技能：①巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。

②能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数。

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数学思考：在一元二次方程根与系数的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。

问题解决：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神识。

情感态度：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。。

教学重点

一元二次方程根与系数的关系推导、运用。

教学难点

发现一元二次方程根与系数的关系。

教学准备

自制教学幻灯片。

教学过程

一、创设情景，提出问题

知识回顾

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问题1：一元二次方程的根一方程中的系数之间有怎样的关系？

师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式。

设计意图：复习一元二次方程的一般式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，并为本节课根系关系的推导作准备。

问题:2：解下列方程，并填写表格：

方

程

x2-2x+1=0

x2-6x-15=0

x2+3x-10=0

x1

x2

x1+x2

x1x2

观察上面的表格，每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？

设计意图：在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，引入新课。

出示课题 一元二次方程根与系数的关系

二、思考探究，获取新知

（一）出示学习目标

1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系。

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2.会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。

3.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数。

设计意图：让学生明确本节课要学会什么内容，同时让教师明确要教会什么内容。

（二）突破目标

问题1：关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

（X-X1）（X-X2）= 0

X2-（X1+X2）X+X1X2= 0

x1x2p

x1x2q

师生活动：引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？

设计意图：

通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为1的方程中发现一元二次方程根与系数的关系。一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师提示学生。

问题2：形如ax2bxc0(a0)的方程，如果b24ac0，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。

然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2bxc0(a0)

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∵a0

cabc

∴x1x2，x1x2

aa

∴x2x0

ba对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。

证明：∵ax2bxc0(a0)，当b24ac0时根为：

bb24ac

x2abb24acbb24ac设x1，x2，则

2a2abb24acbb24ac2bb∴x1x2

2a2a2aabb24acbb24acb2(b24ac)4acc

x1x22

22a2aa4a4a学生思考、归纳并回答下列问题：

（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？

（2）运用根与系数的关系要注意些什么？

设计意图：通过讨论，让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程的跟与系数的关系。

例题：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积

（1）x+7x+6=0 （2）2x2-3x-2=0 解：（1）这里a=1,b=7,c=6. Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25>0 6

2

∴方程有两个实数根。

设方程的两个实数根是,x1,

x2,那么

x1+x2= -7,

x1x2= 6 (2)

这里a=2,b=-3,c=-2. Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25>0 ∴方程有两个实数根。

设方程的两个实数根是,x1,

x2,那么

x1+x2= 3,

x1x2=-1 2师生活动：学生在解决问题时可能会出现先求一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况，也可能出现根与系数关系记忆不准确的情况，教师要及时引导学生进行订正。

设计意图：加强对一元二次方程的根与系数关系的认识，并进一步熟悉根与系数关系的应用。

2链接中考：已知方程2xkx90的一个根是－3，求另一根及k的值。

先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：

解法一：∵方程2x2kx90的一个根为3

∴　2(3)2k(3)90

∴k3，把k3代入原方程得：　　2x23x90

3解之得：x1＝3，x2＝2

3∴k3，方程的另一个根为27

解法二：设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系可知：k93x1＝，（3）x1＝223∴x1＝，k＝32

师生活动：本题有两种解法：一种是根据根的定义，将X=-3代入方程先求k,再求另一根；另一种是利用根与系数关系解答。

设计意图：学生灵活运用所学知识解决实际问题。

三、强化训练，加深理解

1、完成课后50页 练习1 设计意图：这4个小题较为简单，同学们可自主完成，让学生体验成功的快乐。另外要求学生在黑板上板演，便于查漏补缺。

2、检测目标

出示多媒体课件完成练习

设计意图：让学生进一步巩固对一元二次方程根与系数关系的认识。

（四）小结归纳，拓展深化

在小结归纳中我将从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下几个方面进行小结：

通过本节课的学习，你认为一元二次方程根与系数的关系是什么？我们是如何得到根与系数关系的？你有什么收获？

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师生共同总结一元二次方程根与系数的关系，教师可以边总结边板书。

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——

一元二次方程根与系数的关系，并体验教学活动充满着探索性与创造性。

（五）布置作业，提高升华

作

业：课本56页 复习题第5题。

探究作业：若方程2x23x1＝0的两根为x1，x2，

2211= (2)X1+X2=

x1x2求（1）设计意图：作业分层落实.巩固题让学生复习解题思路，完善解题格式，以便举一反三．探究题通过对教材例题的改编,将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式供学有余力的学生自主探索，提高他们分析问题、解决问题的能力．

教学反思：

1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

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2．一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。

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