解决问题课件配套优秀教案设计

解决问题

教学内容分析：

义务教育教科书（人教版）数学六年级上册第69－70页例3及相关练习。

这部分是教材新增加的内容，不仅是圆面积的具体运用，求组合图形（阴影）的面积，更深层次的是让学生感受中国传统文化中“方与圆”的元素，充分体会数学文化的魅力与价值。

教学目标：

1. 结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。

2. 在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。

3. 结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。

教学重点：掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算。

教学难点：对组合图形进行分析。

教学过程：

一、课前谈话（5分钟,轻松、愉悦，沟通感情，聊天式的讲述）：

1、同学们，你们是六零几班的呀？来这里上过课吗？自我介绍一下，我来自洪塘中心小学，大家可以叫我…徐老师。大家都爱旅游吧？以前都去过哪些地方？有什么特色？谁能简单地来给大家分享一下。

2、那你们去过北京吗？去过的同学谁来介绍介绍？

看来大家对北京有了一定的了解。北京是我国的政治和文化中心，是历史上八大古都之一，是世界上拥有文化遗产数量最多的城市，这座城市的建筑也非常有特色。

3、看，这是建于几百年前的天坛和地坛，(ppt出示天坛与地坛的布局)，以它们为代表的中国古代建筑物的设计中，经常有圆与正方形的设计元素在里面。这种理念慢慢地也延续到了现代的建筑物中（ppt出示），你瞧，它是。。。。

1

俯瞰造型为圆的鸟巢，呈正方形的水立方。一圆一方，恰恰表现着中国古代的宇宙观：天圆地方。

师：看了这些建筑物以后，说一说你的感受吧？（边走边点）

现在我们开始上课了好吗？

二、课堂引入

1、师：同学们，刚才我们一起欣赏了含有圆和正方形设计元素的建筑物，它体现着中国传统文化理念，这种理念同时也影响着建筑物细节的设计：在古村里有精美的石窗（ppt），古园林建筑里有精致的木雕（ppt），现在它也走进了我们的生活，你瞧，有精美的吊顶，精致的窗格。（ppt）

（ppt出示6幅图，停留片刻）

2、师：那你能不能从数学的角度来看一看这些建筑物的图案，它们有什么相同与不同之处呢？

生1：都有圆与正方形

师：你找到了它们的相同之处，真不错，其他同学呢？

生2：一种是正方形在圆的外面，一种是圆在正方形的外面

师：是啊，你们发现了吗？

3.、（ppt出现分类、汇总效果，配合教师的说话节奏）同学们真棒！是呀，这些建筑物的图案中都有圆与正方形，有一些是这样的，外面是…正方形，里面是…圆，我们称为“外方内圆”，那这一些呢？我们称为“外圆内方”，今天这节课我们就一起来学习有关圆与正方形的知识。（板书：圆与正方形）

三、外方内圆

1、师：重点来看这两幅图。（课件出示，不读题，停顿片刻）谁来说一说，题目中告诉我们什么？要求的是什么？

生：圆的半径都是1m；求出正方形与圆之间部分的面积。

2、师：要求的是哪一部分的面积？谁能上来指一指？

生指一指

师：同意吗？要求的是这部分面积（课件出示阴影部分），同学们想一想，你觉得可以怎么来求呢？

生：第一幅正方形的面积减圆的面积

2

第二幅圆的面积减正方形的面积

师：同意吗？求正方形与圆之间部分的面积，其实就是在求正方形与圆形面积的…差，我们先来看第一种情况：外方内圆（ppt）。根据提供的信息，这个问题你能解决吗？（停顿）我请一个同学来说一说思路，列一列算式？（师站在黑板前，面向学生，贴图）

师引并板书：你先算…再算…最后…

3.14×12=3.14（m2）

（1×2）2=4（m2）

4－3.14=0.86（m2）

师：同学们，你们同意吗？这一步算出的是…？（

圆的面积

板书S圆）

那这一步呢？（划一划，正方形的面积

板书S正），然后用正方形的面积减去圆的面积，求出了这部分的面积。

师：正方形的面积为什么用2×2来解决呢？

预设：因为正方形的边长是2 师：你是怎么知道的？

生1：正方形的边长等于圆的直径

师：听懂了吗？谁能上来指一指说一说吗？

生2：圆的直径与正方形的边长长度一样。

师：是呀，为了让我们更清楚地看出圆与正方形的联系，我们可以在这里用虚线画出这样一条辅助线（黑板直尺画辅助线），这条线既表示圆的…直径，还可以表示…正方形的边长，求出正方形的面积，解决了这个问题。

四、外圆内方

过渡语：同学们，刚才我们解决了“外方内圆”的情况，现在我们来看一下“外圆内方”这种情况。（ppt出示）

1、师：这个问题你能解决吗？（停顿）请大家先四人小组讨论讨论。大家讨论得真热烈；看来很多同学都有了想法。听清楚老师的要求：请你在练习纸上画一画，算一算。开始。（不要过早切换到投影）

（学生做的时候师依次巡视，关注学生的图和算式，并提示：a.老师发现有些同学在图上画了一画，这样可以帮助自己找到解题的思路！真好。b. 已经做好的

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同学,跟你的同桌交流一下，看看她的做法和你一样吗？想一想还有没有其他不同的方法。

2、反馈。

A、沿着对角线分成两个完全一样的三角形。？？？？

师：老师收集了一位同学的作品，请他来介绍一下。

生1介绍算式：先算圆的面积，3.14×12=3.14（m2）

再把正方形分割成两个三角形的面积

先算一个三角形的面积

再乘2就是正方形的面积

2×1÷2×2=2（m2）

最后相减算出圆与正方形之间部分的面积

3.14—2=1.14（m2

）。（教师划一划）

（点名回答与全班说结合：若学生没有明确指明三角形的底和高在哪，师应及时介入：这位同学讲得真清楚！你看得懂这位同学是怎么求正方形的面积的吗？（分割成两个三角形）先求出一个三角形的面积（圈一圈？）×2就是正方形的面积；这里的2就是…三角形的底（师划一划图），也是圆的…直径（标2），1就是…三角形的高（师划一划图，标直角符号），也就是圆的…半径（标1），所以2×1÷2（师括括号）算出的是…一个三角形的面积）

师：同学们真能干！我们一起来看一看（看屏幕）。刚才那位同学分三步算出了这一部分的面积，先求出圆的面积（生跟着说板书S圆：3.14×12=3.14（m2）

）再算出正方形的面积（板书S正

），把正方形分割成两个完全一样的三角形（ppt），每个三角形的底是。。。圆的直径，2m，高就是。。。圆的半径，1m，

2×1÷2先求一个三角形的面积

再×2（板书2×1÷2×2=2（m2））算出正方形的面积等于2m2，最后用圆的面积减去正方形的面积算出阴影部分的面积（板书3.14—2=1.14（m2

））。

师过渡：和他一样请举手。刚才这位同学在求正方形面积的时候沿着对角线画了这样一条辅助线（师在黑板水笔画辅助线），把正方形分割成了2个三角形，还可以怎么分呀？

预设：分割成4个三角形

师：谁能到上面来分一分。

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B、沿着对角线分成四个完全一样的三角形。

师：那这样分割正方形的面积又该怎么算呢？

生口答，师板书（不同颜色）：1×1÷2×4=2（m2

）

师（慢一点，沟通图与算式）：

哎，这个（师括括号1×1÷2）求出的是。。。一个三角形的面积。这里的两个1就是。。。三角形的底和高（师标出直角记号）也就是圆的半径（师标两个1）乘4就是。。。整个正方形的面积。

C、对角线相乘除以2。（巡视时找到这种方法，问一问学生的想法）

师：刚才两位同学用了不同的方法求出了正方形的面积，圆和阴影部分面积的计算过程是一样的（师指一指板书）。老师还搜集了某某同学的作品，他求正方形的面积方法很特别。我们请他上来介绍一下。

预设1：生能画清楚

师：你说得真清楚！把正方形分割成两个三角形，通过旋转、平移拼成一个大三角形，三角形的底和高都是原来正方形的对角线（师划底和高，标2），所以2×2÷2（板书）求出大三角形的面积，也就是正方形的面积。

预设2：生不清楚

师：这位同学介绍起来有点困难，没关系，其实这样算也是有道理的，我们一起来看一下。（ppt演示，师：把正方形分割成两个三角形，通过旋转、平移拼成一个大三角形，三角形的底和高都是原来正方形的对角线（师划底和高，标2），所以2×2÷2（板书）求出大三角形的面积，也就是正方形的面积。）

师评价：看来把图形进行分割、运动，拼成了新的图形，同样也可以求出正方形的面积。

五、回顾反思，全课总结。

师（指着黑板）：同学们，刚才我们一起解决了有关圆与正方形的两个问题（板书：解决问题），（ppt）在解决的过程中，我们先仔细阅读了题目中的信息和问题，然后思考分析，在分析的过程中，

我们用了一个什么好方法来帮助我们理解题意的呢？

预设：画一画辅助线。

（师板书：画一画）

师：在解决这两个问题的过程中，你觉得有什么相同的地方和不同的地方？四人

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小组讨论讨论。

师：相同的地方在哪儿？

生1：相同地方是都要求出圆与正方形的面积，然后再相减。（师点一点板书）

生2：都是用外面图形的面积减去空白部分的图形。

师：那不同点呢？

生1：一个是正方形减圆；一个是圆减正方形。

师：其实都是用外面图形的面积减去空白部分的图形。

师：还有吗？

生：第一个因为直径等于边长，所以可以直接求正方形面积。

师：那正方形的面积怎么算呢？（边长乘边长）

师：那第二个呢？

生：不能直接求，因为边长不知道。

师：那我们又是怎么解决的呢？（为什么正方形的边长不知道还能求出它的面积呢？）（生必须多说！！！）

预设：分成2个三角形；分成4个三角形；分割成2个三角形，然后拼成一个新的三角形。

小结：看来当正方形边长不知道的情况下，我们（ppt）可以把正方形分一分（板书：分），也可以把正方形拼一拼来解决。（板书：拼）

师：看来同学们都找到了圆与正方形之间的联系，（板书：找一找），用不同的策略解决了两个问题。

五、练习巩固。

师：同学们都很能干，那接下来我们用所学的知识来解决一些生活中的实际问题。

（一）、第一题（解决实际问题）

1、已知一块圆形木板的直径是6dm，用这个圆形木板做一个最大的正方形棋盘，圆形木板上去掉的那部分面积是多少？

（学生练习纸上：抽象图（含圆心））

（1）师：在我国古代，下棋一直被人们视作修身养性的活动，人们经常会用圆木制作成棋盘。这里面就有有关圆与正方形的问题。我们来看。

（2）师读题

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（3）师：谁来指一指这个正方形棋盘在哪儿？

（4）师：看来这跟我们上面哪一个问题是一样的？（外圆内方）那你们能解决了吗？请在练习纸上画一画，写一写。

（5）生独立练习。

（6）快速反馈

师：老师搜集几位同学的作品，我们来看看他们是怎么解决的？

方法一：这个是？这个呢？它怎么求的？答案是？对吗？

方法二：这个是？这个呢？它又是怎么求的？答案是？对吗？

师：做对的同学请举手。

2、选一选：圆半径为r时，表示外圆内方中阴影部分的面积（先感悟一般化的公式，再是检验作用）

（1）师：同学们真能干！刚才我们一起解决了窗格和棋盘这两个实际问题（ppt依次出现），其实这两个问题都是…外圆内方的问题（ppt），只是它们告诉我们的半径的长度不一样。第一个窗格的半径是1m（ppt划一划），第二个圆木的直径是6m，半径就是3m（ppt标出半径=3m），那如果圆的半径为任意长度，我们用字母r来表示，那阴影部分的面积又该怎么表示呢？老师这里有两个选项。四人小组讨论讨论，选择正确的答案。

A. S圆：3.14×r²=3.14r²

B.

S圆：3.14×r²=3.14r²

S正：（2r×r÷2）×2=2r²

S正：r×r÷2=0.5r²

S阴影：3.14r²－2r²=1.14r²

S阴影：3.14r²－0.5r²=2.64r²

（2）师：有答案了吗？选A的同学来说一说你的理由？

预设：选项A是将正方形分割成2个三角形。

师：那选项B？

预设：在求正方形面积时忘记乘4了

师：它其实是把正方形分割成了四个三角形，只算出了其中一个。还要乘4算出了正方形的面积。（ppt修改，出示正确答案）

（3）师点着ppt并板书：同学们，圆的面积就是3.14r²，正方形面积不管分成2个或是4个三角形来计算，结果都是2r²。那外圆内方阴影部分的面积就可以用3.14r²减2r²等于1.14r²来表示

。其实这个式子还可以帮助我们来检验。

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（4）特殊的检验方法：

a.

我们来看窗格类型的问题，当r=1时，代入这个式子，结果是1.14r²=1.14×12=1.14（m2），与前面算的结果一样（黑板上点一点）；那棋盘的问题呢？

它的半径是3，当r=3时，代入这个式子，结果是1.14r²=1.14×32=1.14×9=10.26（m2）请大家跟练习纸上校对一下，结果正确吗？

师：看来可以用这样的方法来帮助我们检验结果是否正确。

(5)、解决问题步骤的总结

师：看来我们在解决这类问题的时候，先根据题目的信息和问题来画一画辅助线，然后找一找图形之间的联系（板书箭头），进行分析与解答，（板书箭头）最后还可以用这样的式子来帮助我们查一查，检验结果是否正确。

（二）窗格图案。

（1）、师：同学们，在很多古建筑物中都可以见到这样的窗格，这里面也有我们要研究的问题。你能在图中找到正方形与其他图形的组合图案吗？有没有不一样的呀？

（2）、师：徐老师也找到了几个，我们来看一下。

（3）、师：给它们涂上阴影，比一比，阴影部分的面积

预设：一样大

师：为什么？

生：另外两个图形里面空白部分都可以拼成一个圆。

师：同意吗？（课件动态演示）看来空白部分通过旋转可以拼成一个圆，就是。。。外方内圆的情况，所以阴影部分都是用正方形减去圆的面积，都是一样大的。现在我们也来总结一下外方内圆的计算公式。如果当圆半径是任意长度，我们也用r来表示，阴影部分的面积是多少呢？

生口答

师板书：圆的面积3.14×r²=3.14r²

正方形的面积是2r×2r=4r²(学生跟着说）4r²－3.14r²=1.14r²。用这样的算式同样也可以帮助我们检验这道外方内圆的情况，当圆的半径等于1米的时候，0.86r2刚刚等于0.86平方米，与前面计算的结果是一样的。

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（三）、半圆三角形

师：其实在这幅窗格里，除了圆与正方形组合以外，还有许多其他图形的组合。（生先说）你们真厉害！这里还隐藏着三角形和半圆的组合图形呢。（ppt）。

已知半圆的直径是6cm，求阴影部分的面积正确的是（

）

A. r=6÷2=3（cm）

3.14×32÷2-6×3÷2 B.

r=6÷2=3（cm）

【3.14×32-（6×3÷2）×2】÷2

（四）、拓展（两个正方形之间的面积）考验综合能力

多种方法解答

1、师：这节课我们研究了外方内圆和外圆内方的两种情况，现在老师把这两个图形合起来，已知圆的直径是4米，你会解决些什么问题？

生说

2、师：如果要求出两个正方形之间的面积，你会解决吗？

生独立尝试

3、反馈

用大正方形的面积减小正方形的面积

两部分相加

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