一元二次方程的概念名师教学视频（文字实录）

第二章 一元二次方程

1 认识一元二次方程

第1课时 一元二次方程的概念

※教学目标※

【知识与技能】

要求学生会根据具体问题列出一元二次方程.

【过程与方法】

通过“未铺地毯区域有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力. 【情感态度】

通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力.

【教学重点】

一元二次方程的概念. 【教学难点】

如何把实际问题转化为数学方程.

※教学过程※

一、复习导入

1.我们学过的方程有哪些？

一元一次方程、二元一次方程、分式方程

2.下列哪些是方程？是什么方程？

(1)2＋3＝5

(2)3x＋2

(3)5x＋3＝18 (4)x-2y＝5 (5)312x

(6)25xx2

3.什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 二、探索新知

问题1 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m2

，则花边多宽?

解：如果设花边的宽为

x m ,那么地毯中央长方形图案的长为

(8-2x) m,宽为(5-2x) m,根据题意,可得方程：(8-2x)(5 -2x) = 18. 整理, 得

2x213x110

问题2:观察下面等式：102+112+122=132+142. 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？

解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4，x+5.根据题意，可得方程：x2+(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2=(x+4)2+(x+5)2

问题3:如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果

梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？

解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙6m.如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙（x+6）m;根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2

＝102

问题3

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x,去年底：5 今年底：5+5x＝5(1+x) 明年底：5(1＋x)＋5(1＋x)x＝5(1＋x)(1＋x)＝5 (1＋x)2

根据题意得方程：5(1＋x)2＝7.2 25x10x2.20

整理,得：观察这几个方程，有什么共同特征？

2x13x110

2x12x150

5x210x2.20

特征: (1) 都是整式方程

(2) 只含有一个未知数

(3) 未知数的最高次数是2

只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.

我们把ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0)成为一元二次方程的

一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.

特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0.

设计意图：

提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料.

三、掌握新知

2

例

判断下列方程中哪些是一元二次方程？并说明理由

（1）3x+2=5x-3

（2）5x2-x=7 (3)4x2-y-3=0 (4)5x2-6=0 (5)x2=4 x2(6)x2x1

(7)x2-4=(x+2)2 (8)ax2+bx+c=0(a、b、c为常数) 解：由一元二次方程的定义知(2)(4)(5)是. 四、巩固练习

1.根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.

答案：

解：设直角三角形的三边长分别为m-1，m,m+1（m>1,且m为整数）. 222则（m-1）+m=(m+1)

222.把方程(3x＋2)＝4(x－3)化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

答案：

22解：因为（3x+2）=4（x-3）

2所以9x+12x+4-4x2+24x-36=0 2即5x+36x-32=0. 其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32. 3、根据题意，列出一元二次方程：

2 （1）有一面积为54m的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？

答案：解：（1）设这个正方形的边长是Xm，根据题意，

得（x+5）×（x+2）＝54，

即 x²+7x－44＝0. （2）设这三个连续整数依次为x，x+1，x+2，根据题意，

得 x（x+1）+x（x+2）+（x+1）（x+2）＝242，

即 x²+2x－80＝0. 五、归纳小结

本节课你又学会了哪些新知识呢？

２１．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．

２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系

你准备如何去求方程中的未知数呢? 六、布置作业

从教材习题２.1中选取．

七、习题2.1参考答案

1.解：（1）设这个正方形的边长为x m，根据题意，得（x+5）（x+2）＝54，

即x27x440. （2）设这三个连续整数依次为x ，x +1，x +2，根据题意，得

x （x +1）+x （x +2）+（x +1）（x +2）＝242，

即X2X800. 2. 2方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3X25X13X25X10351

2(X2)(X1)6XX8011847X207X2407043.设竹竿的长为X尺. 由题意得，(X4)(X2)X. 即：X12X200，解得：X1＝2（不符题意，舍去），X2＝10. 所以竹竿的长为10尺. 八、教学反思

关注知识发生发展过程、关注数学活动过程

本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境：让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型；激发学生的学习兴趣；由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念.学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯.

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