复习题优质课一等奖

图形的相似

◆考点聚焦

1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．

2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．

3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．

4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，•会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．

◆备考兵法

1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，•要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．

2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，•关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．

3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，•用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．

◆识记巩固

1．相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为______．

2．相似多边形的特征：对应边______，对应角______．

3．成比例线段：如果四条线段a，b，c，d中，•某两条线段的长度

的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如a：b=c：d或a：d=b：c，则a，b，c，d叫___________；若a，b，b，c成比例，即a：b=b：•c，•则称b•是a•和c•的_______．

4．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．•对应边之比叫做________．当相似比为1时，两个三角形就称为_______．

5．相似三角形的识别：

（1）两组对应角分别__________的两个三角形相似；

（2）两组对应边成比例，且_______相等的两个三角形相似；

（3）三组对应边________的两个三角形相似；

（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所得的三角形与原三角形________．

6．相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应边成_________，对应角_______．

（2）相似三角形对应线段（对应角，对应中线，对应角平分线，•外接圆半径和内切圆半径）之比和周长之比都等于_______；

（3）相似三角形的面积比等于_______．

7．黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且APPB（可求出比值为0.618……），这种分割叫黄金分割．P点叫ABAP线段AB的黄金分割点，一条线段有_____个黄金分割点．

8．位似：对应顶点的连线_________的相似叫位似．•作位似图形的

方法是先确定位似中心和每个顶点之间的直线，在直线的另一侧取原多边形的对应顶点，连结各点即得放大或缩小的位似图形（注意“放大”和“放大到”的区别）．

9．相似三角形中常见的基本图形：

条件：DE∥BC∠1=∠B∠1=∠B

条件：AB∥DE∠A=∠DCD是斜边AB上的高

识记巩固参考答案: 1．相似形2．成比例相等3．比例线段比例中项4．相似比全等三角形5．（1）相等（2）夹角（3）成比例（4）相似6．（1）比例相等（2）相似比•（3）相似比的平方7．两8．相交于一点

◆典例解析

例1（2011上海，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12．

13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1图2备用图

【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC=AB2BC2=502302=40．

1ACBC, 2ACBC4030∴CP===24．

50AB12在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=，

13CP12∴．

CM131313∴CM=CP=24=26．

1212PEx3PEAP（2）由△APE∽△ACB，得，即，∴PE=x．

30404BCAC12PE12在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=，∴．

13ME131313313∴EM=PE=x=x．

1212416∵S=ABCP=125133∴PM=PN=ME2PE2=xx=x．

16416∵AP+PN+NB=50，∴x+∴y=225x+y=50．

1621x50(0

16（3）

第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：

①当点E在线段AC上时，

13AMME．∵EM=EN，∴EM2AMNB．设AP=x，由（2）知EM=x，16ENNB51121AM=xPM=xxx，NB=x50．

161616△AME∽△ENB，211311∴xx(x50)

161616解得x1=22，x2=0（舍去）．

即AP=22．

②当点E在线段BC上时，

2

ACEP12550．∴CE=AC=．设AP=x，易得CEMP512355550BE=(50x)，∴CE=30(50x)．∴30(50x)=．解得x=42．即AP=42．

3333∴AP的长为22或42．

根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴例2如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）

A．①③B．③C．①D．①②

解析∵AB∥DC，∴△AEF•∽△CDF，•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA（全等是相似的特例）．

∴①是错的．

∵AEEF1，∴②EF：ED=1：2是错的．

CDDF2∴S△AEF：S△CDF=1：4，S△AEF：S△ADF=1：2．

∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．

答案B 点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）

②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．

拓展变式点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（）

A．2对B．3对C．4对D．5对

答案C 例3如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD，AC把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少？（注意：全等看成相似的特例）

（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．

解析（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，•②③，②④，③④．

其中有两组（①③，②④）是相似的．

∴选取到的两个三角形是相似三角形的概率P=．

（2）证明：选择①③证明．

在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，

∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，

∴△AOB∽△COD．

选择②④证明．

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CAB．

在△DABC与△CBA中，

AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，

∴△DAB≌△CBA，

∴∠ADO=∠BCO．

又∠DOA=∠COB，∴DOA≌△COB．

例4如图，是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面L上两个半径为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B，C分别是两个半圆的圆心，⊙A•分别与两个半圆相切于点E，F，BC长为8米，求EF的长．

解析∵⊙A分别与两个半圆相切于点E，F，点A，B，C分别是三个圆的圆心．

13

∴AE=AF=4，BE=CF=2，AB=AC=6．

在△AEF和△ABC中，

AEAF42=，

=ABAC63EFAE∴△AEF∽△ABC，故=．

BCABAE216则EF=BC·=8×=（米）．

AB33∠EAF=∠BAC，点拨解决实际问题时，一定要先转化成数学问题，画出图形，•再运用相应的知识解决．

拓展变式（2008，山东聊城）如图，路灯（P点）距地面8米，身高1．6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，•身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

解析∵∠MAC=∠MOP=90°，

∠AMC=∠OMP，

∴△MAC∽△MOP，

AMAC．

MOOPMA1.6即，

20MA8∴解得MA=5．

同理，由△NBD∽△NOP可求得NB=1.5，所以小明的身影变短了3.5米．

例5如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（•点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角

边交AB于点E．我们知道，结论“Rt•△AEP∽Rt△DPC”成立．

（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；

（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

解析（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD=得PD=CD4=43，

tanCPDtan30CD，

PD∴AP=AD-PD=10-43．

由△AEP∽△DPC知，∴AE=AEAP, PDCDAPPD=103-12．

CD（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x．

由△AEP∽△DPC，知∴CD=2．

AP4=2，解得x=8．

10x此时AP=4，AE=4符合题意．

故存在点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，DP=8．

点拨①本题考查用相似三角形的性质得到等量关系（比例式），建立方程解决实际问题．除了掌握相似三角形对应边、对应角的性质以外，还要注意相似三角形对应线段（对应高，对应中线，对应角平分线）之比和周长之比都等于相似比；

②解决存在性问题时，一般先假设存在，建立方程，若方程有解，并且经过检验解符合题意，则存在；若方程无解或解不符合题意，则不存在．

2011年真题

一、选择题

1.（2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）

A.600mB.500mC.400mD.300m 环城路300m南京路400m八一街书店曙400m 光 路西安路北

【答案】B 2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距3离为，则点P的个数为（）

2A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】B

3.（2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的1，2得到的图形是（）

【答案】Ａ

4.（2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）

A.2：5B.14:25C.16:25D.4:21

【答案】B 5.（2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）

A.1:2B.1:4C.1:5D.1:16 【答案】A

6.（2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（

）

（A）23

（B）33

（C）43

（D）63

ADBEC（第7题）

【答案】B

7.（2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）

A.600m

B.500m

C.400m

D.300m 环城路300m南京路400m八一街书店曙400m 光 路西安路北

【答案】B 8.（2011台湾台北，26）图(十)为一ABC，其中D、E两点分别在AB、AC上，且AD＝31，DB＝29，AE＝30，EC＝32。若A＝50，则图中1、2、3、4的大小关系，下列何者正确？

A．1＞3B．2＝4C．1＞4D．2＝3

【答案】D 9.（2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。

其中真命题的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4 【答案】A

10．（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（）

14

A．（3，2）

B．（－2，－3）

C．（2，3）或（－2，－3）

D．（3，2）或（－3，－2）

【答案】D

11.（2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的1，2得到的图形是（）

【答案】Ａ

12.（2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（）

A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条

B．对角线相等的四边形是矩形

C．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等

D．位似图形一定是相似图形

【答案】D 13.（2011重庆江津，8，4分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是() A A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似

4 3 D 【答案】A·

O 75706 8 35重庆綦江，47514.(2011，4分)若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，B C (1(2则△ABC与△DEF的面积比为（）第8题

A．1：3B．1：9C．3：1D．1：3

【答案】：B

15.（2011山东泰安，15，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是

．．

A.=B.=C.=D.=

【答案】C

16.（2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

EDDFDEEFBCBFBFBCEAABBCFBDEBEBEAE

【答案】D

17.（2011湖南怀化，6，3分）如图3所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，

则CE的值为

A.9B.6C.3D.4

【答案】B

18.（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC=OB∶OD，则下

列结论中一定正确的是() A．①和②相似B．①和③相似

C．①和④相似D．②和④相似

A B ①

②④O D ③（第7题）

C

【答案】B

19.（2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝

m n A B a D b C E F c A．7 【答案】B 20．（2011湖南永州，12，3分）下列说法正确的是（）

A．等腰梯形的对角线互相平分．

B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．

C．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

C．8 D．8.5 B．7.5

D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．

【答案】C

21.（2011山东东营，11，3分）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）

A．1a

B．1(a1)

22C．1(a1)

D．1(a3)

22A B y 1 C -1 O -1 1 B′

x A′

第11【答案】D

22.（2011重庆市潼南,5,4分）若△ABC～△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为

A．2：1 B．1：2 C．4：1D．1：4 【答案】A

23.（2011广东中山，3,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的1，2得到的图形是（）

【答案】Ａ

24.（2011湖北荆州，7，3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有

A．1对

B．2对

C．3对

D．4对

DCGAEFPB

第7题图

【答案】C 25. 26. 二、填空题

1.（2011广东广州市，14，3分）如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．

A′

E′

A B O E D C′

B′

D′

C 图3

1【答案】

22.（2011四川重庆，12，4分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积比为．

【答案】1：9

3.（2011江苏苏州，17,3分）如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.

【答案】4. 5. 6. 三、解答题

1.（2011江西，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

33

4

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）

（2）设AA1=A1A2=A2A3=1. ①=度；

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1. 数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1=，2=，3=；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围. ．．

【答案】

【答案】解：（1）能

（2）①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=2，AA3=1+2. 又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2=A3A4=AA3=1+2,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=2a2, ∴a3=A5A6=AA5=a2+2a2=(2+1)2. 方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，∴A1A3=2，AA3=1+2. 又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+2,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，2a21a2∴△A2A3A4∽△A4A5A6，∴，∴a3==(2+1)2. 1a2a3an=(2+1)n-1. (3)12，23，34

(4)由题意得590690，∴15°＜≤18°.

2.（2011江苏宿迁,28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点12A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．

（1）求AE的长度；

（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

FGAEDBC（第28【答案】

解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得AC＝∵BC＝CD，AE＝AD

∴AE＝AC－AD＝51．

212112()22＝52

（2）∠EAG＝36°，理由如下：

∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝∴AE＝FA51

251

2

∴△FAE是黄金三角形

∴∠F＝36°，∠AEF＝72°

∵AE＝AG，FA＝FE ∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE∴△AEG∽△FEA

∴∠EAG＝∠F＝36°．

3.（2011广东汕头，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；

（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

【解】（1）△HGA及△HAB；

（2）由（1）可知△AGC∽△HAB ∴CGACx9，即，

ABBH9y所以，y81

x

（3）当CG＜BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH ∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH 此时，△AGH不可能是等腰三角形；

当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；

此时，GC=12992，即x=2

221212当CG＞BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9 综上，当x=9或92时，△AGH是等腰三角形．

24.（2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M. (1)

求证：AMADHG;

BC(2)

求这个矩形EFGH的周长.

【答案】

(1)

解：∵四边形EFGH为矩形

∴EF∥GH

∴∠AHG=∠ABC

又∵∠HAG=∠BAC

∴△AHG∽△ABC∴AM（2）由（1）得AM可得ADADHG;

BCHG;设BCHE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 30x2x，解得，x=12，2x=24 3040所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.

5.（2011上海，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=12．

13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1图2备用图

【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC=AB2BC2=502302=40．

1ACBC, 2ACBC4030∴CP===24．

50AB12在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=，

13∵S=ABCP=12

CP12．

CM131313∴CM=CP=24=26．

1212PEx3PEAP（2）由△APE∽△ACB，得，即，∴PE=x．

30404BCAC12PE12在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=，∴．

13ME131313313∴EM=PE=x=x．

1212416∴5133∴PM=PN=ME2PE2=xx=x．

16416∵AP+PN+NB=50，∴x+∴y=225x+y=50．

1621x50(0

16（3）

第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：

①当点E在线段AC上时，

13AMME．∵EM=EN，∴EM2AMNB．设AP=x，由（2）知EM=x，16ENNB51121AM=xPM=xxx，NB=x50．

161616△AME∽△ENB，211311∴xx(x50)

161616解得x1=22，x2=0（舍去）．

即AP=22．

②当点E在线段BC上时，

2

ACEP12550．∴CE=AC=．设AP=x，易得CEMP512355550BE=(50x)，∴CE=30(50x)．∴30(50x)=．解得x=42．即AP=42．

3333∴AP的长为22或42．

根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴6.（2011四川绵阳25，14）

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1. BD(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；

CEBD(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；

CEBD(3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不CEBD4必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位CE3置；若不能，请说明理由. ADDEAEBCBC

AEDBC

【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=5x,∵△ABD

2BD5BDAB∽△CDE,,可得CE=x,所以=

CE2CECD5（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=2x，AB=2x+x,由

勾股定理可知BD=（4+22）x²△ABD∽△CDE，x2EC=, 22ABEC12,∴ADDE1BD=2, CE(3)由前面两步的结论可以看出，在AC边的五等分点和点A之间

7.（2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）

（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：DPBQPEQCBD≥1,所以这样的点是存在的，DCE．

（2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证MN2=DM·EN．

【答案】（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，

∴DP/BQ＝AP/AQ．

同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ．

∴DP/BQ＝EP/CQ．

（2）29．

（3）证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC，

∴△BGD∽△EFC．

∴DG/CF＝BG/EF，

∴DG·EF＝CF·BG

又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG

由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF) ∴MN2＝DM·EN

8.（2011河北，20，8分）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2；

（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）

ABC

【答案】（1）如下图. AA'BB'C'C

（2）四边形AA′C′C的周长=4+62

2011中考模拟分类汇编：相似形

一、选择题

1、（2011年北京四中模拟26）在比例尺1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15㎝，这两地的实际距离是（）

A．0.9㎞B.9㎞C.90㎞D.900㎞

答案：D 2、（2011杭州模拟26）如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长…………………() A.633B.43C.63D.323

答案：B 3．（2011年杭州三月月考）．如图，在Rt△ABC中，A AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，ACB90°，BC3，AC4，D 则CE的长为（）

(A)(B)(C)答案：B 4．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；ADAB③；其中正确的有（）

AEACDBECA327625

6(D)2 B

C E A、3个B、2个

C、1个D、0个

答案：A

(第4 5.（安徽芜湖2011模拟）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（）

A．9B．12C．15D．18 答案:A

6.（2011深圳市三模）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。如

图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m，参考数据：错误！未找到引用源。≈1.414，错误！未找到引用源。≈1.732，错误！未找到引用源。≈2.236)是（）

A.0.62mB.0.76mC.1.24mD.1.62m 答案：C 7、（2011杭州模拟20）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）

第7题

答案：B （A（B（C（D

8、（2011年黄冈浠水模拟1）如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）. A.4对B.5对C.6对D.7对

答案：C 9.（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并标准对数视4.不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的0.两个“E”之间的变换是（）

0.14.1 4.2

A．平移

B．旋转

C．对称

D．相似

0.1答案：D 10.（2011年浙江杭州三模）

（）

答案：C 二、填空题

1．（2011年杭州市上城区一模）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．

答案：4，24

72、（北京四中模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD2，AE3，BD4，则AC

．

答案：9 3.（2011年浙江杭州二模）如图，光源P在横杆AB的正上方，P AB在灯光下的影子为CD，AB//CD,AB2,CD6m，AB 点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是______m。CD 答案：1.8 4．（2011杭州上城区一模）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝ACA

相似，那么＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABCBF的长度是．

E

B′24答案：4，

7B C F 5、（2011年北京四中34模）已知三个边长分别为2、3、5的正三角4题）

形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为

（第

答案：3

86（2011深圳市中考模拟五）.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长，面积．

答案:90，270 7.（浙江杭州金山学校2011模拟）（浙江杭州金山学校2011模拟）（原创）23与23的比例中项是▲. 答案：±1 8.（浙江杭州进化2011一模）已知a:b3:2，且ab10，则b=. 答案：4 三、解答题

1、（2011年北京四中模拟26）

已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。

（2）探索线段BF、FG、EF之间的关系，并说明理由。

BF2FGEF.理由：1E,12,2E。答案：解：（2）

BFFGEFBF又B2GFBBFE,BFGF。G

EF∽EFB.，即F

2、(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)（本小题满分6分）

如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC。

（1）求证：△ABC∽△POA；

（2）若OB2，OP2，求BC的长．

答案：

（第273、（2011杭州模拟）如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。连结EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F。

（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想。

（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比。

解：(1)猜测BE和直线AC垂直…………1分

证明△AEB≌△CEB(SSS)…………2分

说明EB是∠AEC的平分线，再利用等腰△三线合一即可…………2分

（2）证明∠EBF=45°即可证明△BEF∽△ABC\…………2分

延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=3a, 所以相似比：EB3aa31…………3分

AC2a2

4．（2011年杭州三月月考）如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D. (1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；

(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；

(3)若过A，D，C三点的圆的半径为3,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求C出DP的长；若不存在，请说明理由. 答案：

解：（1）作出圆心O，

以点O为圆心，OA长为半径作圆. （2）证明：∵CD⊥AC,∴∠CP2P1BABACD=90°.

∴AD是⊙O的直径

连结OC，∵∠A=∠AOD

B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A=30°,

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.

∴BC⊥OC, ∴BC是⊙O的切线. （3）存在. ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,

∴∠BCD=∠B,即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中，DC=ADsin303,∴BD=3. 解法一：①过点D作DP1//OC，则△P1DB∽△COB,P1DBD，

COBO∵BO=BD+OD=23, ∴P1D=BD33×OC=×3=. BO32②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO,∴∵BC＝BO2CO23,

∴P2DBDOCBC331. 3P2DBD，

OCBC解法二：①当△BP1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°. 在Rt△BP1D中，

DP1=BDsin303. 2②当△BDP2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°. 在Rt△BP2D中，

DP2=BDtan301. 5．（2011年杭州三月月考）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB90°，OA2，OB4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OBx，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

（3）若折叠后点B落在边点坐O A x y B 为B，且使BD∥OB，求此标．

O A x y B OA上的时点C的

答案：

解（1）如图①，折叠后点B与点A重合，

则△ACD≌△BCD. 设点C的坐标为0，mm0. 则BCOBOC4m. 于是ACBC4m. 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2OC2OA2，

2即4mm222，解得m. 323点C的坐标为0，

2（2）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B, 则△BCD≌△BCD. 由题设OBx，OCy，

则BCBCOBOC4y，

在Rt△BOC中，由勾股定理，得BC2OC2OB2. 4yy2x2，

2即yx22

由点B在边OA上，有0≤x≤2，

1

解析式yx220≤x≤2为所求. 818

当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，

3y的取值范围为≤y≤2. 2（3）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B，且BD∥OB. 则OCBCBD.

OCBCBD，有CB∥BA. 又CBDCBD，Rt△COB∽Rt△BOA. 有OBOC，得OC2OB. OAOB在Rt△BOC中，

设OBx0x0，则OC2x0. 由（2）的结论，得2x0x202，

解得x0845．x00，x0845. 8516. 点C的坐标为0，18

6．（2011年三门峡实验中学3月模拟）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．

（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求（2）如图2，当OA=OB，

答案：

PAP的值；

PCAD1=时，求tan∠BPC；

AO4AADPD（1）过C作CE，则△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；

B∥OA交CBD于EOOBC1212再由△ECP∽△DAP图得

1 APAD2；

PCCE图

2 （2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，

1322PDAD2；

再由△ECP∽△DAP得PECE35PD2，可得PD=AD=x，由勾股定理可知BD=5x，DE=x，则

2DEPD3由△BCE∽△BOD得CE=OD=x，

则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=CO1。

AO27.（浙江杭州靖江2011模拟）(本小题满分6分) 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°

（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连结AD，DE。

（2）与△BDE相似的三角形有______________。（直接写出答案）（原创）

ABC

答案：（1）图如下，作出弧AD得1分，作出BD的中垂线得2分，连AEBDC结AD，DE得1分。（2）△ADC和△ABC……………………………2分

8.已知a,b,c均不为0，且答案：解a2b3bc2cac2b，求的值。（原创）

5372b3aa2b3bc2ca：设＝k，537则.............................1分

a2b5k……………①

3bc3k……………②.....................................1分

2ca7k……………③

由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k……………④……………………………1分

由②＋④，得4b=9k,∴b=a=k,c=∴1593kkkc2b241……………………………………………4932b3a6k8kk221215k………2分

49k，分别代入①，④得，41分

9．（安徽芜湖2011模拟）（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC2=2AB·CE．

答案:

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

即AD是底边BC上的高．………………………………………1分

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中点；………………………………………………………3分

(2)证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，

∴∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分

又∵∠BCE=∠ACD，

∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分

（3）证明：由△BEC∽△ADC，知CDCE，

ACBC即CD·BC=AC·CE．…………………………………………………8分

∵D是BC的中点，∴CD=BC．

又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE 即BC2=2AB·CE．……………………………………………………10分

10.（安徽芜湖2011模拟）（本题满分12分）

如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．

(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角1212

形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．

B P1 A P2 P3 C E

D P5 F P4

答案:解：(1) △ABC和△DEF相似．

…………1分

根据勾股定理，得

AB25，AC5，BC=5；

DE42，DF22，EF210．

∵

ABACBC5，

DEDFEF22

…………5分

∴

△ABC∽△DEF．

…………6分

(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．

B P1 A P2 P3 C E (第23题)

P4 D P5 F

△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，

△

P4P5D，△P2P4P5，△P1FD．…………12分

11.（河南新乡2011模拟）（10分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：△CDF∽△BGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB6cm，EF4cm，求CD的长．

D E A

C F B G 答案：

（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，

∴CDFFGB，DCFGBF，

……………. 2分

∴△CDF∽△BGF．…………………………. 4分

（2）由（1）△CDF∽△BGF，

又F是BC的中点，BFFC

∴△CDF≌△BGF，

∴DFFG，CDBG…………………………. 7分

又∵EF∥CD，AB∥CD，

∴EF∥AG，得2EFBGABBG．

∴BG2EFAB2462，

A E D C F B G

∴CDBG2cm．

……………………………………………………………10分

12.（浙江杭州金山学校2011模拟）（14分）（根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编）

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE。

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似．．．．．．．．．．．．．．．．三角形。

_____________________，______________________。

(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线yax22ax3a(a0)经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点。

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。

②求抛物线的解析式。

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

答案：（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB……………………………………………图4分

（2）①（1，－4a）…………………………………………………………1分

②∵△OAD∽△CDB ∴DCCB…………………………………………………………1分

OAOD

∵ax2－2ax－3a=0，可得0）…………………………………2分

又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1，

∴故1a3a3A（3，∴a21

∵a0

∴a1

物线的解分

析式为：抛yx22x3………………………………2③存在，设P（x，－x2+2x+3）

∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形

∴PN=AN 当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，

∴P（－2，－5）………………………………………………………………………2分

当x>0（x>3）时，x－3=－(－x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合题意舍去)…………1分

符合条件的点P为（－2，－5）………………………………………………1分

13.（浙江杭州进化2011一模）(本小题满分8分) 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DFA 与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．

求证：（1）△DEF∽△BDE；

（2）DGDFDBEF．

B D E G F C

答案：(本小题满分8分) 证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．…………………………………………1分

∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．

∴∠BDE=∠CED．…………………………………………1分

∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE．…………………………………………1分

（2）由△DEF∽△BDE，得DBDE．

A ∴DE2DBEF．…………………………………………1分

由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．

∵∠GDE=∠EDF，D E G F ∴C DEEF△GDE∽△EDF．…………………………………1分

∴B ．…………………………………………1分

∴DE2DGDF．…………………………………………1分

∴DGDFDBEF．…………………………………………1分

14.（2011年杭州市模拟）（本题6分）如图，ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与ABC相似，并填空：

（1）在图甲中画A1B1C1，使得A1B1C1的周长是ABC的周长的2倍，．．则A1B1=；

AB（2）在图乙中画A2B2C2，使得A2B2C2的面积是ABC的面积的2倍，．．

则A2B2=；

ABAABCBC

图甲

图乙

答案：（1）2；（2）2

(每个填空题正确得1分，每个图形画正确得2分)

15．（2011年海宁市盐官片一模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AEED，DFDC，连结EF并延长交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

EA（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

答案：⑴在正方形ABCD中，AD90

AB=AD=CD 1∵AE=ED,DF=DC 414DFB

CG

12ABAE∴

DEDF∴AE=ED=AB,DF=AB 14∴△ABE∽△DEF

（2）

AB4

,AE2

BE422522

∴ABEDEF

AEBABEAEBDEF90

∴BEG90

由AD∥BG得AEBEBG

∴ABE∽EGB

∴AEBEBE

BGBE210

∴BGAE16．（2011年海宁市盐官片一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

M D C N （2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

答案：⑴过C作CG⊥AB于G A E F B

∵AB=7,CD=1∴BG=713

2由BC=5∴CG=25232=4 S梯形ABCD=141716

⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB ∴四边形EFNM为矩形

设BF为x，四边形MEFN的面积只为y ∵NF∥CG,∴BFN∽BGC BFNF即NFx∴NF=4x

433BGCGEF\7-2x ∴y=4x（7-2x）

3当x=7时，四边形MEFN的最大值为49

64⑶当4x=7-2x时，即x=21，MEFN为正方形

310此时正方形边长为42114

3105正方形面积为196

2517、（2011年浙江杭州27模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°

（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连结AD，DE。

（2）与△BDE相似的三角形有______________。（直接写出答案）

ABC

答案：（1）图如下，作出弧AD，作出BD的中垂线，连结AD，DE。AEBDC

（2）△ADC和△ABC 一、选择题

1.（2010年中考模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的

影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）

A．24mB．22mC．20mD．18m 答案：A

2.（2010年北京市中考模拟）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）

答案：A 3.（2010年中考模拟2）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）

A.只有1个B.可以有2个

C.有2个以上，但有限D.有无数个

答案：B 4.（2010年教育联合体）在直角坐标系中，已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

答案：C 5.（2010年北京市朝阳区模拟）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）

（第5答案：B A．

B．

C．

D．

6.（2010年北京市朝阳区模拟）如图，在Rt△ABC中，ABAC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：

①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；

③BEDCDE；④BE2DC2DE2

其中一定正确的是

A．②④

B．①③

C．②③

D．①④

答案：D 7.（2010年山东新泰）在直角坐标系中，已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

答案：C 8.（2010年浙江杭州）四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图．则在字母“L”、“K”、“C”的投影中，与字母“N”属同一种投影的有（）

A．“L”、“K”B．“C”C．“K”D．“L”、“K”、“C”

答案：A 二、填空题

1.（2010年广州市中考六模）、P为线段AB=8cm的黄金分割点，则AP=cm. 答案：454或1245

2.（2010年浙江永嘉）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．

答案：144 三、解答题

1.（2010年中考模拟2）如图是一个几何体的三视图. （1）写出这个几何体的名称；

（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；

（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程. 答案：

（1）圆锥；

（2）表面积

S=S扇形S圆rlr212416（平方厘米）

（3）如图将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程. 由条件得，∠BAB′=120°，C为弧BB′中点，所以BD=33

2.（2010年长沙市中考模拟）在Rt△ABC中，ACB90°，D是AB边A 上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与D BC的延长线交于点F．

E O （1）求证：BDBF；

（2）若BC6，AD4，求⊙O的面积．

答案：（1）证明：连结OE。AC切⊙O于E，OE⊥AC，

又ACB90°，即BC⊥AC，OE∥BC，

OEDF。又ODOE，ODEOED，

ODEF，BDBF。

B C F （2）设⊙O半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC．

AOOEr4r，r2r120，

，即ABBC2r46解之得r14，r23（舍）。S⊙Oπr216π

3.（2010年教育联合体）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：

(1)图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．

(2)求证：△APE∽△FPA．

(3)猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系？并说明理由．

(1)△APD≌△CPD

理由：∵四边形ABCD菱形

∴AD=CD,∠ADP=∠CDP

又∵PD=PD ∴△APD≌△CPD

(2)证明：∵△APD≌△CPD∴∠DAP=∠DCP

∵CD∥BF∴∠DCP=∠F∴∠DAP=∠F

又∵∠APE=∠FPA∴△APE∽△FPA

(3)猜想：PC2PEPF

理由:∵△APE∽△FPA

∴APPE∴PA2PEPF

FPPA∵△APD≌△CPD

∴PA=PC∴PC2PEPF

4.（2010年安徽省模拟）如图，G是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过A,GD=5.

ADE（1）指出图中所有的相似三角形；

（2）求FG的长. （1）△AFH,△DCG,△DEA均是相似三角形

（2）由∠E=∠C=900,∠EDA与∠CDG均

为∠ADG的余角，的△DEA∽△DCG ∴EDADFGAD,向ED=FG,∴,

CDGDCDGDFHBGC

由已知GD=5,AD=CD=4,∴FG416,即FG=

4555.（2010年重庆市綦江中学模拟1）已知△ABC的三个顶点坐标如下表：

（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出ABC；

（2）观察△ABC与△ABC，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论. 解:（1）] （x，（2x，2y）

y）

（x，（2x，2y）

y）

A（2，1）

A（4，2）

B（4，3）

B（，）

第5题图

C（5，1）

C（，）

A（2，1）

A（4，2）

B（4，3）

B（8，6）

C（5，1）

C（10，2）

(2)如△ABC∽△ABC、周长比、相似比、位似比等均可．第5题答案图

6.（2010年浙江杭州）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（ABBC，且BCAC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．

背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角．．形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．

尝试解决：

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB 于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．

（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5cm，

AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

解：(1)作线段AC的中垂线BD即可. (2)小华不会成功．

若直线CD平分△ABC的面积

那么SADCSDBC

∴ADCEBDCE

∴BDAD

∵ACBC

∴ADACBDBC

∴小华不会成功．

（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．

②若直线不过顶点，可分以下三种情况：

（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示

过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G 易求，BG=4，AG=CG=3 BEAFGHC1212DBEAC

设CF=x，则CE=8-x 4514根据面积相等，可得x(8x)6

25由△CEH∽△CBG，可得EH=(8x)

∴x3（舍去，即为①）或x5

∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．

M

（b）直线与AB、AC分别交于M、N,如图所示ANC由(a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．

（仿照上面给分）

B(c)直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示

过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X 24由面积法可得，AY=

5APBXQYC设BP=x，则BQ=8-x 24x

25124根据面积相等，可得x(8x)6

225由相似，可得PX=∴x814814

5（舍去）或x22814814时，BQ=5，舍去．

22而当BP∴此种情况不存在．

综上所述，符合条件的直线共有三条．

单元测试

一、基础过关训练

1．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）

2．如图，在ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，下列结论不正确的是（）

A．BF=DFB．S△FAD=2S△FBEC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC 12

3．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若∠DPB=，那么CD等于（）

AB1

tanA．sinB．cosC．tanD．4．如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连结EF交CD于点M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（）

A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4

(第4题)(第5题)(第6题)

5．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=______．

6．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1：2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为______．

7．如图，DE=CD．

（1）求证：△ABF∽△CEB；

（2）若△DEF的面积为2，求ABCD的面积．

12ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，

8．如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=EB．

（1）求证：△CEB∽△CBD；（2）若CE=3，CB=5，求DE的长．

二、能力提升训练

9．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线L与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°．

（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

（2）若直线L向右平移到图2，图3的位置时（其他条件不变），（1）•中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明）；若不成立，请说明理由；

（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其他条件不变），PF=PE？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）

12

10．如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的顶点B的坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动．

（1）当点D运动到与点A，O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；

（2）当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；

（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，•并求出S的最大值与最小值．

参考答案

基础过关训练

1．B2．B3．B4．C5．20336．（2，）或（-2，-）

3227．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AB∥CD，

∴∠ABF=∠CEB，

∴△ABF∽△CEB．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，ABCD，

∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF．

∵DE=CD，

∴SDEFDE21SDEFDE21(),()，

SCEBEC9SABFAB412∵S△DEF=2．

∴S△CEB=18，S△ABF=8，

∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16，

∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24．

8．（1）证明：∵弦CD垂直于直径AB．

∴BC=BD，∴∠C=∠D．

又∵EC=EB．

∴∠C=∠CBE，∴∠D=∠CBE．

又∵∠C=∠C，∴△CEB∽△CBD．

（2）解：∵△CEB∽△CBD，

CECBCB25225∴，∴CD=，

CBCDCE33

∴DE=CD-CE=2516-3=．

33能力提升训练

9．解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．

以△BPF∽△EBF为例，证明如下：

∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠EFB，

∴△BPF∽△EBF．

（2）均成立，均为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．

（3）BD平分∠ABC时，PF=PE．

证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°．

∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°，∴PF=PB．

又∠BEF=60°-30°=30°=∠ABP，

∴BP=EP，∴PF=PE．

10．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD．

∵点A，O，D在同一条直线上，∴∠ODC=90°，

∴直线CD与⊙O相切．

（2）直线CD与⊙O相切分两种情况：

①如图1，设D1在第二象限时，过点D1作D1E1⊥x轴于点E1，设此时的正方形的边长为a，则（a-1）2+a2=52，解得a=4或a=-3（舍去）．

OE1D1E1OD1，

OABAOB3434∴OE1=，D1E1=，∴D1（-，），

5555121212由Rt△BOA∽Rt△DOE，得故直线OD的函数关系式为y=-4x．

3

②如图2，设点D2在第四象限时，过点D2作D2E2⊥x轴于点E2，设此时的正方形的边长为b，则（b+1）2+b2=52，解得b=3或b=-4（舍去）．

OE2D2E2OD2，

OABAOB4343∴OE2=，D2E2=，∴D2（，-）．

55553故直线OD的函数关系式为y=-x．

4由Rt△BOA∽△RtD2OE2，得（3）设D（x，y0），则y0=±1x2，由B（5，0），得DB=(5x)2(1x2)2610x．

∴S=BD2=（26-10x）=13-5x．

∵-1≤x≤1，∴S最大值=13+5=18，S最小值=13-5=8．

1212