用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程公开课教案

几何最值

近几年中考常考几何最值，由于类型多，变化多，学生往往难以找到解题突破口，望题兴叹，失分率极高，为了解决这一问题，现总结几种基本模型，解题套路供参考．主要模型有：一、线段“a”的最大（小）值；二、线段“ab”的最大（小）值；三、线段“abc”21ab”的最小值．本讲只说“线段“a”的最大（小）的最小值；四、线段“ab”或“22值”，它又分为以下三种模型：

模型一、三角形两边长定值，一边动，以动边为边作特殊定角的等腰三角形．简称“两定带定角等腰三角形”. 这种模型的最值问题的解题根据是“两点间所有连线中线段最短”．解题方法是旋转法.如何旋转?绕等腰三角形顶角的顶点顺时针或逆时针旋转定角的度数即可．为什么要旋转呢?目的是把两条定长线段和待求线段集中在一个三角形中．

1．如图，在ABC中，AB=c，AC=b，以BC为边向形外作等腰BCD．

（1）图1中，若CBD90，求当BAC等于多少度时，AD有最大值？并求出这个最大值．

AAABCBCBCDD图1图2D图3（2）图2中，当CBD为等边三角形时，AD的最大值为

，此时BAC=

度；

（3）图3中，当CBD120时，AD的最大值为

，此时BAC=

度；

（4）图4中，当BCD150时，AD的最大值为

，此时BAC=

度；

（5）图5中，当BDC90时，AD的最大值为

，此时BAC=

度；

（6）图6中，当BDC120时，AD的最大值为

，此时BAC=

度．

1 图4AAABCDBDC图5BD图6C

2．如图，在ABC中，AB=3，AC=22，以BC为腰作等腰RtBCD，当BAC等于多少度时，AD有最小值？并求出这个最小值．

BADC

3．如图，在ABC中，AB=3，AC=22，以BC为腰作等腰RtBCD，当BAC等于多少度时，AD有最大值？并求出这个最大值．

4．如图，在ABC中，AB=3，AC=22，以BC为底边作等腰RtBCD，当BAC等于多B少度时，AD有最大值？并求出这个最大值．

最小值为

，此时AOB=

度．

BOABACDDAC5．如图，在半径为3的⊙O中，以弦AB为腰作等腰BAC，且BAC120，则OC的C6．如图，在半径为3的⊙O中，以弦AB为边作菱形ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为

，此时AOB=

度．当BAD120时，则OD的最大值为

，此时AOB=

度．

2

7．如图，在半径为3的⊙O中，以弦AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD交于E，则OD的最大值为

，OE的最大值为

．

模型二、三角形三边长定值，以其中任何一边作对角为定角的三角形．简称“三定带对定角的三角形”．

解题依据仍然是“两点间所有连线中线段最短”，解题方法是找定角三角形的圆心，然后再连圆心．

1．如图，边长为4的等边ABC中的两点A、B分别在x轴和y轴上移动，则OC的最大值为

.

2．如图，矩形ABCD（或正方形ABCD），AB=6，AD=4，则OD的最大值为

.

3．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=43，对角线AC、BD交于O，过O作直线l，过D作DH⊥l于H. 当直线l绕点O旋转时，则AH的最小值为

；CH的最大值为

．

4．如图，矩形ABCD，AB=4，AD=43，对角线AC、BO交于O．

以OD为边作OHD45，则BH的最小值为

，

CH的最大值为

．

3 HAOBlCDHADOBC

5．在半径为5的⊙O中，弦AB=8．

（1）作ACB90，则OC的最大值为

；

（2）作ACB45，则OC的最大值为

；

（3）作ACB60，则OC的最大值为

；

（4）作ACB120，则OC的最大值为

. 6．在边长为4的正方形ABCD中，作AED45，

如图1，则CE的最大值为

；

如图2，则CE的最小值为

．

7．如图，在菱形ABCD中，AB=2，B60，点E为AB的中点，过点E作直线l，EB沿直线l折叠得到对应点F，求DF的最小值.

8.如图，在边长为6的等边ABC内有一动点P，BPC120，D是AB的中点，则DP的最小值为

．

9．如图，点P是正方形ABCD边AB上的动点，沿DP折叠ADP至FDP，CF与DP的延长线交于R，如果AD=4，E为CD上一点，且CE=1，求ER的最大值．

4 EAADBEB图1DCC图2AAEFBICDDPCBAPFBDREC

10. 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是

. RADFCEGEBFCD

AB

10题

11题

12题

13题

11. 如图，在菱形ABCD中，ABC60，AC=23，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动，连AM、BN交于点P，则DP的最小值为

.

12．如图，在边长为6的等边ABC中，点D是BC延长线上一点，DC1BC，将ACD绕2C点逆时针旋转至ECF，直线EA与直线DF交于R，求BR的最大值．

13.如图，在菱形ABCD中，DAB60，AB=3，E是DC延长线上一点，AE交BC于F，连接DF并延长交BE于G，则线段DG的最大值为

，此时CDF

度.

DAB60，14. 如图，在菱形ABCD中，AB=3，点E是AD上的动点,在AB上取点F使AF=DE,BE与DF交于点G,则线段CG的最大值为

.

模型三、垂线段最短

AFEDGCB 主要研究一点在直线上运动，另一点也在直线上运动的模型．解题方法是从极端原理进行思考，选取两个最容易求的极端点构成直线，利用“垂线段最短”求解．

1．如图1，边长为4的等边ABC中，AD⊥BC于D，E为AD上动点，以CE为边作等边CEF，则DF的最小值为

.

图1 图2 图3 5

2．如图2，等腰RtABC中，BAC90，AC=6，AD⊥BC于D，E为AD上动点，以CE为边作等边CEF，则DF的最小值为

．

3．如图3，等边ABC中，AB=4，AD⊥BC于D，E为AD上动点，以CE为腰作等腰RtCEF，CEF90，则DF的最小值为

．

4．如图，等边ABC中，AB=4，AD⊥BC于D，E为AD上动点，以CE为腰作等腰RtCEF，ECF90，则DF的最小值为

．

5.如图,直线y1x1与x轴交于点A,与y轴交于点B,OA的中点为C,点E是直线AB上的动2点, 连接CE作等腰Rt△CEF,∠ECF=90°,如果点E运动时,点F也在直线上运动,则点F所在的直线解析式为 ,线段OF的最小值为 .

6．如图,直线yBOCFEA1x1与x轴交于点A,与y轴交于点B,OA的中点为C,点E是直线AB上的2动点, 连接CE作等腰Rt△CEF,∠CEF=90°,如果点E运动时,点F也在直线上运动,则点F所在的直线解析式为 , 线段OF的最小值为 .

7．如图,直线yBFOCEA1x1与x轴交于点A,与y轴交于点B,点E是直线AB上的动点, 连接CE2作等边△CEF,如果点E运动时,点F也在直线上运动,则点F所在的直线解析式

为 , 线段OF的最小值为 .

6 FAOEB