总复习教学创新设计

方案设计与策略型问题

一、知识点回顾与思考

1、已知函数y = (m - 1)x - 2. 3y (1)

当m 时,y随x的增大而增大；

(2)

当m 时,y随x的增大而减小；

2注意：当m= 1时，y =

- 是一个常函数。

32、一次函数y1kxb与y2xa的图象如图，

O 3 y2xa

x y1kxb

（1）当x 时,y1 = y2：

2题图

（2）当x 时,y1＞

y2：

（3）当x 时,y1＜y2。

3、二次函数y= (x+2)(x-4)的对称轴是

，顶点坐标是

，当

x= 时，y有最 值是 ；

二、例题解析

例1、在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买方案：

y(元)

方案一：若单位赞助广告费10000元，则该

单位所购门票的价格为每张60元；

（总费用＝广告赞助费+门票费）

14000 10000 方案二：购买门票方式如右图所示．

解答下列问题：

（1）方案一中，y与x的函数关系式

x(张)

O 100 150 为 ；

方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为 ，

当x＞100时，y与x的函数关系式为 ；

（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；

（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．

解：(1) 方案一: y=60x+10000 ；

当0≤x≤100时，y=100x ； 当x＞100时，y=80x+2000 ；

(2)因为方案一y与x的函数关系式为y=60x+10000，

∵x＞100，方案二的y与x的函数关系式为y=80x+2000； 当60x+10000＞80x+2000时，即x＜400时，选方案二进行购买， 当60x+10000=80x+2000时，即x=400时，两种方案都可以， 当60x+10000＜80x+2000时，即x＞400时，选方案一进行购买；

(3) 设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为a张、b张；

∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票，

∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况：b≤100或b＞100. ①

当b≤100时，乙公司购买本次足球赛门票费为100b，

ab700, 60a10000100b58000,a550,不符合题意，舍去；

解得b150,②

当b＞100时，乙公司购买本次足球赛门票费为80b+2000，

ab700, 60a1000080b200058000, 解得a500,b200, 符合题意 答：甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张、200张.

变式练习1、某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

甲店

乙店

A型利润

200 160 B型利润

170 150 （1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；

（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；

（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？

分析：

甲店（70件）

乙店（30件）

解：依题意，甲店B型产品有(70x)件，乙店A型有(40x)件，B型有(x10)件，则

（1）W200x170(70x)160(40x)150(x10)

A型利润（40件）

200 x

160 (40 – x)

B型利润（60件）

170 (70 – x)

150 (x - 10)

20x16800．

x≥0，70x≥0，0x是整数．

由解得

10≤x≤4，且40x≥0，x10≥0．（2）由W20x16800≥17560，

x≥38．

38≤x≤40，x38，39，40．

有三种不同的分配方案．

①x38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件．

②x39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件．

③x40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．

（3）依题意：

W(200a)x170(70x)160(40x)150(x10)

(20a)x16800．

①当0a20时，x40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大．

②当a20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样．

③当20a30时，x10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．

运用的知识点有：

例2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

分析：总利润=每件商品利润×商品销售的总件数

2解：（1）y(21010x)(50x40)10x110x2100（0x≤15且x为整数）；

2（2）y10(x5.5)2402.5．

a100，当x5.5时，y有最大值2402.5．

0x≤15，且x为整数，

当x5时，50x55，y2400（元），当x6时，50x56，y2400（元）

当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当y2200时，10x110x21002200，解得：x11，x210．

2当x1时，50x51，当x10时，50x60．

当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．

变式练习2

例2中若设每件商品的售价上涨到x元（x为正整数），则每个月的销售利润y元与x的函数关系式是 ；

运用的知识点有：

归纳：

（解题策略）1、充分阅读，理解题意；（可以分段阅读）

2、根据题中的等量关系或不等关系建立方程、不等式、函数；

3、比较计算，设计方案；（注意分类讨论）

4、确定最优方案。（结合函数性质及图像、数形结合）

方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致．

特

点：阅读量大，覆盖面广，常给定问题情境如产品生产、物资运输、商品销售、资金流通、旅游开发等实际问题，往往都涉及到多种解决方案，又主要与函数、方程、不等式等代数知识结合，有时也要对设计出的多种解决方案中寻求其最佳的方案，如最好、最省、最大、最低等最优化的问题。

解题策略：充分阅读，理解题意，将实际问题转化为数学问题，建立方程、不等式、函数等模型，然后再通过比较、计算，设计出符合要求的各种方案，并找出其中最优方案。

课后练习

1、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆. （1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.

2、某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为

l 万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为0。55 万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有

l 吨的废渣产生．为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：

方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理

1 吨废渣所用的原料费为0。05 万元，并且每月设备维护及损耗费为

20 万元．

方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理

1 吨废渣需付0。1 万元的处理费．

( 1 ）设工厂每月生产x件产品，每月利润为

y 万元，分别求出方案一和方案二处理废渣时，

y 与x之间的函数关系式．（利润=总收人一总支出）

( 2 ）若你作为工厂负责人，如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算．