复习题名师教学视频（文字实录）

备战2019年中考数学一轮专题复习

一元二次方程

考点解读：

知

识

点

一元二次方程

的概念

2. 一元二次方程的解

解法

步骤

会识别一个数是不是一元二次方程的解。

1. 一元二次方程的概念

会识别一元二次方程。

名师点晴

能灵活选择适当的方法解一元二次方程。

b2－4ac是一元二次方程

根的判ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别会判断一元二次方程根的情况。

别式

式

根与系数的关系

一元二由实际问题抽象出一元二次方次方程程

的应用

考点1：一元二次的有关概念

【例1】（2018•盐城）已知一元二次方程x+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（

）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．

【解答】解：把x=1代入方程得1+k﹣3=0，

解得k=2．

故选：B．

【即时练习1】（2018•扬州）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为

．

【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，

∴2m2﹣3m=1 2x1＋x2＝ba，x1x2＝ca

会灵活运用根与系数的关系解决问题。

要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系．

最后要检验结果是不是合理.

∴原式=3（2m﹣3m）+2015=2018 故答案为：2018 考点2：一元二次方程的解法

【例2】（2018•临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（

）

A．（y+）=1 B．（y﹣）=1 【分析】根据配方法即可求出答案．

【解答】解：y﹣y﹣=0 y2﹣y=

y﹣y+=1 （y﹣）2=1 故选：B．

【即时练习2】（2018•铜仁市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（

）

A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 22222 C．（y+）=

2 D．（y﹣）=

2【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．

【解答】解：x﹣4x+3=0，

分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=3，

故选：C．

【即时练习2】解方程：2y＋4y＝y＋2. 解：方程可变形为2y2＋3y－2＝0，

因式分解，得(2y－1)(y＋2)＝0，

∴2y－1＝0或y＋2＝0，

1解得y1＝2，y2＝－2. 考点3：一元二次方程的根的判别式

【例3】（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（

）

A．无实数根 B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 22【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．

【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5

整理得：x﹣2x﹣3=2x﹣5，

则x﹣4x+2=0，

（x﹣2）2=2，

解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，

22故有两个正根，且有一根大于3．

故选：D．

【即时练习3】关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．

【解析】∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝0，即22－4(m－1)＝0，解得m＝2. 考点4：根与系数的关系

基础知识归纳：

一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．

基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．

注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．

【例4】（2018•泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（

）

A．x1≠x2

B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；

B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；

C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；

D、由x1•x2=﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．

综上即可得出结论．

【解答】解：A∵△=（﹣a）﹣4×1×（﹣2）=a+8＞0，

∴x1≠x2，结论A正确；

B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，

∴x1+x2=a，

∵a的值不确定，

∴B结论不一定正确；

C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，

∴x1•x2=﹣2，结论C错误；

D、∵x1•x2=﹣2，

22

∴x1、x2异号，结论D错误．

故选：A．

【即时练习4】（2018•包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（

）

A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．

【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根

∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，

∴m≤3．

∵m为正整数，且该方程的根都是整数，

∴m=2或3．

∴2+3=5．

故选：B．

考点5：一元二次方程的应用 【例5】（2018•宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（

）

A．2% B．4.4% C．20% D．44% 【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，

根据题意得：2（1+x）2=2.88，

解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．

故选：C．

【即时练习5】（2018•安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．

（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天

计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．

【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，

根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，

解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．

答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．

（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，

根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，

解得：a≥1900．

答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．

直击中考

1.（2018•台湾）若一元二次方程式x﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（

）

A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17 2.（2018•资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．

比一比，赛一赛

1. 方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（

）

A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2 2.（2018•泰州）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ．

3. 解方程：2(x－3)2＝x2－9. 解：方程可变形为2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，

因式分解，得(x－3)(2x－6－x－3)＝0，

即(x－3)(x－9)＝0. 解得x1＝3，x2＝9.

2

课后作业

一、选择题：

1. （2018•宜宾）一元二次方程x﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（

）

A．﹣2 B．1 C．2 D．0 22. （2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（

）

A．9人

B．10人

C．11人

D．12人

3.（2018•乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（

）

A．（180+x﹣20）（50﹣C．x（50﹣二、填空题：

4. （2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．

5.（2018•通辽）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为

．

三、计算与解答：

6.（2018•齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．

7.（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克）

售价x（元/千克）

…

…

34.8 22.6 32 24 29.6 25.2 28 26 …

…

）=10890 B．（x﹣20）（50﹣ D．（x+180）（50﹣）=10890 ）﹣50×20=10890 ）﹣50×20=10890 （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

8. （2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为

件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

9.（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．

（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？

（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．

☞参考答案：

一、选择题：

1. 方程（m﹣2）x+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（

）

A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2 【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣2≠0，再解即可．

【解答】解：由题意得：m﹣2≠0，

解得：m≠2，

故选：D．

2. （2018•台湾）若一元二次方程式x﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（

）

A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17 【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b的值．

【解答】解：（x﹣11）（x+3）=0，

x﹣11=0或x﹣3=0，

所以x1=11，x2=﹣3，

即a=11，b=﹣3，

所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．

故选：D．

3. （2018•宜宾）一元二次方程x﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（

）

A．﹣2 B．1 C．2 D．0 222【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，

∴x1x2=0．

故选：D．

4. （2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（

）

A．9人

B．10人

C．11人

D．12人

【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设参加酒会的人数为x人，

根据题意得： x（x﹣1）=55，

整理，得：x2﹣x﹣110=0，

解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．

答：参加酒会的人数为11人．

故选：C．

5. （2018•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（

）

A．12 B．9 C．13 D．12或9 【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．

【解答】解：x﹣7x+10=0，

（x﹣2）（x﹣5）=0，

x﹣2=0，x﹣5=0，

x1=2，x2=5，

①等腰三角形的三边是2，2，5 ∵2+2＜5，

∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；

即等腰三角形的周长是12．

故选：A．

6. （2018•乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（

）

A．（180+x﹣20）（50﹣C．x（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣ D．（x+180）（50﹣）=10890 ）﹣50×20=10890 2）﹣50×20=10890 【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．

【解答】解：设房价定为x元，

根据题意，得（x﹣20）（50﹣故选：B．

二、填空题：

7.（2018•资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．

）=10890．

【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，

∴m2﹣2m=0且m≠0，

解得，m=2．

故答案是：2．

8. （2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx+（k﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．

【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．

【解答】解：把x=2代入kx+（k﹣2）x+2k+4=0得4k+2k﹣4+2k+4=0，

整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，

因为k≠0，

所以k的值为﹣3．

故答案为﹣3．

9. （2018•通辽）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为

．

【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．

【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：

x（x﹣1）=21，

故答案为： x（x﹣1）=21．

10. （2018•泰州）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ．

【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．

【解答】解：依题意得：，

22222解得∵x≤y，

∴a2≤6a﹣9，

整理，得（a﹣3）≤0，

故a﹣3=0，

解得a=3．

故答案是：3．

三、计算与解答：

11. （2018•齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．

【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．

【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），

移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，

整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，

x﹣3=0或2﹣3x=0，

解得：x1=3或x2=．

12. （2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克）

售价x（元/千克）

…

…

34.8 22.6 32 24 29.6 25.2 28 26 …

…

2（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；

（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，

，解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．

当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．

答：当天该水果的销售量为33千克．

（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，

解得：x1=35，x2=25．

∵20≤x≤32，

∴x=25．

答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．

13. （2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为

件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；

（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．

【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．

故答案为26；

（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．

根据题意，得

（40﹣x）（20+2x）=1200，

整理，得x2﹣30x+200=0，

解得：x1=10，x2=20．

∵要求每件盈利不少于25元，

∴x2=20应舍去，

解得：x=10．

答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．

14. （2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．

（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？

（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．

【分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；

（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．

【解答】解：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，

根据题意得：x≥4（50﹣x），

解得：x≥40．

答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．

（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），

修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．

根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），

设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，

解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，

∴a的值为10．