4　概率波教案（名师）

第4讲

概率波

[目标定位]

1.知道光的波粒二象性，并会分析有关现象.2.理解德布罗意波和概率波的统计规律.3.了解经典的粒子和经典的波的基本特征.4.初步了解不确定性关系的内容．

一、粒子的波动性

1．光的波粒二象性

(1)光既具有波动性又具有粒子性，即光具有波粒二象性．

h(2)光子的能量ε＝hν和动量p＝.两式左侧的物理量ε和p描述光的粒子性，右侧的物理量ν和λλ描述光的波动性，普朗克常量h架起了粒子性与波动性之间的桥梁．

2．粒子的波动性

(1)每一个运动的粒子都与一个对应的波相联系，这种与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，也叫做物质波．

(2)物质波的波长、频率关系式

hε波长：λ＝，频率：ν＝. ph3．物质波的实验验证

(1)1927年戴维孙和G.P.汤姆孙分别利用晶体做了电子束衍射实验，得到了电子的衍射图样，证实了电子的波动性．

ε(2)人们陆续证实了质子、中子以及原子、分子的波动性，对于这些粒子，德布罗意给出的ν＝和hhλ＝关系同样正确．

p二、概率波

1．经典的粒子和经典的波

(1)经典的粒子

①粒子有一定的空间大小，有一定的质量，有的还具有电荷，遵循牛顿运动定律．

②运动的基本特征：任意时刻有确定的位置和速度，以及时空中有确定的轨道．

(2)经典的波

基本特征是：具有确定的频率和波长，即具有时空的周期性．

2．概率波

(1)光波是一种概率波

光的波动性不是光子之间相互作用引起的，而是光子自身固有的性质，光子在空间出现的概率可以通过波动的规律确定，所以，光波是一种概率波．

(2)物质波也是一种概率波

对于电子和其他微观粒子，单个粒子的位置是不确定的，但在某点出现的概率的大小可以由波动的规律确定．对于大量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结果，所以物质波也是概率波．

三、不确定性关系

1．定义

在经典物理学中，可以同时用质点的位置和动量精确描述它的运动，在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定性关系．

2．表达式

ΔxΔp≥h.其中以Δx表示粒子位置的不确定量，以Δp表示粒子在x方向上的动量的不确定量，4πh是普朗克常量.

一、对光的波粒二象性的理解

实验基础

表

现

1.大量光子产生的效果显示出波动性

说

明

1.光的波动性是光子本身的一种属性，不是光子之间相互作用产生的

2.光的波动性不同于宏观概念的波

光的波动性

干涉和衍射

2.频率较低的光在传播时，越容易表现出波的性质

1.当光同物质发生作用时，这种作用是“一份一1.粒子的含义是“不连续”、“一份一份”的

2.光子不同于宏观概念的粒子

光的粒子性

光电效应、康普顿效应

份”进行的，表现出粒子性

2.少量或个别光子产生的效果显示粒子性

说明

对于不同频率的光，频率越高，光的粒子性越强；频率越低，光的波动性越强

例1

关于光的波粒二象性的理解正确的是(

) A．大量光子的行为往往表现出波动性，个别光子的行为往往表现出粒子性

B．光在传播时是波，而与物质相互作用时就转变成粒子

C．高频光是粒子，低频光是波

D．波粒二象性是光的根本属性，有时它的波动性显著，有时它的粒子性显著

解析

光的波粒二象性指光有时候表现出的粒子性较明显，有时候表现出的波动性较明显，D正

确；大量光子的效果往往表现出波动性，个别光子的行为往往表现出粒子性，A正确；光在传播时波动性显著，光与物质相互作用时粒子性显著，B错误；频率高的光粒子性显著，频率低的光波动性显著，C错误．

答案

AD 二、对物质波的理解

1．任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动性，我们之所以观察不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体对应的波长太小的缘故．

hε2．物质波波长的计算公式为λ＝，频率公式为ν＝

ph3．德布罗意假说是光子的波粒二象性的一种推广，包括了所有的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波．

例2

下列关于德布罗意波的认识，正确的解释是(

) A．任何一个物体都有一种波和它对应，这就是物质波

B．X光的衍射证实了物质波的假设是正确的

C．电子的衍射证实了物质波的假设是正确的

D．宏观物体运动时，看不到它的衍射或干涉现象，所以宏观物体不具有波动性

解析

运动的物体才具有波动性，A项错；宏观物体由于动量太大，德布罗意波长太小，所以看不到它的干涉、衍射现象，但仍具有波动性，D项错；X光是波长极短的电磁波，是光子，它的衍射不能证实物质波的存在，B项错．

答案

C 例3

如果一个中子和一个质量为10 g的子弹都以103 m/s的速度运动，则它们的德布罗意波的波长分别是多大？(中子的质量为1.67×10有效数字) 解析

中子的动量为p1＝m1v

子弹的动量为p2＝m2v

h据λ＝知中子和子弹的德布罗意波长分别为

phhλ1＝，λ2＝

p1p2联立以上各式解得λ1＝将m1＝1.67×10h＝6.63×10－34－27－27

kg，普朗克常量为6.63×10－34

J·s，结果保留两位hh，λ2＝

m1vm2v kg，v＝103 m/s J·s，

m2＝1.0×102 kg －代入上面两式可解得

λ1≈4.0×10－10 m，λ2＝6.6×10－10－35 m 答案

4.0×10 m

6.6×10－35 m

三、对概率波的理解

1．光子既具有粒子性，又具有波动性．光子在和其他物质作用的过程中(如光电效应和康普顿效应)显示出粒子性，光在传播过程中显示出波动性．在光的传播过程中，光子在空间各点出现的可能性的大小(概率)由波动性起主导作用，因此光波为概率波．

2．大量光子产生的效果表现出波动性，个别光子产生的效果表现出粒子性；对于不同频率的光：频率低、波长长的光，波动性特征明显；频率高、波长短的光，粒子性特征明显．

3．对于电子、实物粒子等其他微观粒子，同样具有波粒二象性，所以与它们相联系的德布罗意波也是概率波．

例4

物理学家做了一个有趣的双缝干涉实验：在光屏处放上照相用的底片，若减弱光的强度，使光子只能一个一个地通过狭缝．实验结果表明，如果曝光时间不太长，底片上只能出现一些不规则的点子；如果曝光时间足够长，底片上就会出现规则的干涉条纹．对这个实验结果有下列认识，其中正确的是(

) A．曝光时间不太长时，底片上只能出现一些不规则的点子，表现出光的波动性

B．单个光子通过双缝后的落点可以预测

C．只有大量光子的行为才能表现出光的粒子性

D．干涉条纹中明亮的部分是光子到达机会较多的地方

解析

曝光时间不太长时，底片上只能出现一些不规则的点子，表现出光的粒子性，选项A错误；单个光子通过双缝后的落点不可以预测，在某一位置出现的概率受波动规律支配，选项B错误；大量光子的行为才能表现出光的波动性，干涉条纹中明亮的部分是光子到达机会较多的地方，选项C错误，D正确．

答案

D 借题发挥

解答本类型题时应把握以下两点：

(1)光具有波粒二象性，光波是一种概率波．

(2)单个光子的落点位置是不确定的，大量光子的落点位置服从概率分布规律．

四、对不确定性关系的理解

1．单缝衍射现象中，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的，即通过挡板前粒子的位置具有不确定性．

2．单缝衍射现象中，粒子通过狭缝后，在垂直原来运动方向的动量是不确定的，即通过挡板后粒子的动量具有不确定性．

3．微观粒子运动的位置不确定量Δx和动量的不确定量Δp的关系式为ΔxΔp≥朗克常量，这个关系式叫不确定性关系．

4．不确定性关系告诉我们，如果要更准确地确定粒子的位置(即Δx更小)，那么动量的测量一定会更不准确(即Δp更大)，也就是说，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，也不可能用“轨迹”来描述粒子的运动．

例5

在单缝衍射实验中，若单缝宽度是1.0×109 m，那么光子经过单缝发生衍射，动量不确－h，其中h是普4π

定量是多少？

解析

单缝宽度是光子经过狭缝的位置不确定量，

即Δx＝1.0×109 m，

－由ΔxΔp≥h有：

4π－346.63×101．0×10

m·Δp≥4π－9 J·s. 得Δp≥5.3×10－26 kg·m/s. －26答案

Δp≥5.3×10

kg·m/s