1.1.2 平面上的伸缩变换优质课一等奖

新课程讲义：直角坐标系、平面上的伸缩变换

立莹数学工作室

1.1 直角坐标系、平面上的伸缩变换一、教学目标

1、复习直角坐标系，初步了解平面上的一种简单变换——伸缩变换. 2、通过复习三角函数yAsinkx的图象，初步认识平面图形的伸缩变换和它的坐标表达式

（3）空间直角坐标系

过空间中一个定点O，作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系，点O称为坐标原点，三条坐标轴分别称为x轴，y轴、z轴. 取定了空间直角坐标系，就可以建立空间的点与三个有序实数之间的对应关系，空间的点与三个有序数组之间建立一一对应关系. 3、平面上的伸缩变换

问题3、考察将ysinx图象作如下变换所得到的曲线数量表示的引入，为坐标系的出现奠定了基础。

2、已学过的坐标系

建立坐标系的目的是为了表示点，使点有数量化表示——即坐标表示，曲线有数量化表示——即用方程表示. （1）直线上的坐标系

定义：在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位. 点O，长度单位和选定的方向三者构成了直线坐标系，简称数轴.

见教材. （2）平面直角坐标系

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点，取定长度单位. 取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy. 问题2：如何在平面直角坐标系中表示点的位置. 见教材. 关于平面直角坐标系的说明：

①直角坐标系的作用：

将平面上的点与全体有序实数对之间建立了一一对应关系.即：在给定的坐标系下，平面上的任一点唯一确定一对有序实数，反之，任意给定一对有序实数，它也唯一地确定平面上的一个点. 图形：

（1）将曲线ysinx上的点P(x,y)的横坐标保持不变，把纵坐标变为原来的3倍得到对应点Q(X,Y)的对应的轨迹图形及曲线方程？

（2）将曲线ysinx上的点P(x,y)的纵坐标保持不变，把横坐标变为原来的轨迹图形及曲线方程？

（3）将曲线ysinx上的点P(x,y)的纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的2倍，得到对应点Q(X,Y)的对②平面直角坐标系的分类

右手系和左手系

y

y

Xax

Yby二、知识内容

1、刻画一个物体的位置的方法

（1）最初方案

选取几个物体作参考，按一定的方法来标明这一物体与它们的相互位置关系；

（2）数量表示

在有了一定度量单位后，相互位置关系通常用数表示。

如：航海学中的地理位置，用经纬度形成的坐标表示；军事上描述射击目标可以用目标的方向角和距离这两个数表示. 

2O

x

x



2O

1倍得到对应点Q(X,Y)的对应的2O

1

P

x

应的轨迹图形及曲线方程？

解析：（1）将曲线ysinx上的点P(x,y)的横坐标保持不变，把纵坐标变为原来的3倍得到对应点Q(X,Y)，其中坐标间的关系式为

问题1：在直线坐标系上如何表示点的位置呢？

xXXx

，则有1，

Y3yy3Y此坐标变换公式适用于正弦曲线ysinx上的所有点，因此原来的正弦曲线变为新的曲线即Y3sinX

YsinX，

3y

y3sinx

ysinx

O

P(x,y)

Q(x,3y)

x

1

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此曲线把原来的正弦曲线的“振幅”增大到它的3倍，坐标变换公式“伸变换”. 如何将“伸”变换改为“缩”变换呢？

表示沿x轴上的“缩变换”，当a1时表示沿x轴没有实行伸与缩变换. ②当b1时，表示沿y轴上的“伸变换”，当0b1时，表示沿y轴上的“缩变换”，当b1时表示沿y轴没有实行伸与缩变换. （5）利用平面上伸缩变换来研究圆变椭圆的过程

圆方程为x2y2a2，令Xx，Yky（0k1）下，圆的方程变为什么方程，表示什么曲线？

Xx表示平面上的一种“伸缩变换”中的Y3yXx1可将公式改为1，即得曲线YsinX. 3Y3y（2）将曲线ysinx上的点P(x,y)的纵坐标保持不变，把横坐标变为原来的12倍得到对应点Q(X,Y)，其中坐标间的关系式为

1

Xxx2X2，即YyyY. 此坐标变换公式适用于正弦曲线ysinx上的所有点，因此原来的正弦曲线变为新的曲线Ysin2X.

y

ysinx

Oy

sin2x

x

此曲线把原来的正弦曲线的周期缩小为它的12，即周期为. 1坐标变换公式X2x表示平面上的一种“伸缩变换”Yy中的“缩变换”. 如何将“缩”变换改为“伸”变换呢？

1可将公式改为XX2x，即得曲线2x. YyYy（3）将曲线ysinx上的点P(x,y)的纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的12倍，得到对应点Q(X,Y)，其坐标变换公式为1X2x. Y3y（4）平面上伸缩变换的坐标表达式

Xax，其中Ybya0，b0. ①当a1时，表示沿x轴上的“伸变换”，当0a1时，

2 解析：由Xx，Yky（0k1）得

xX，y1kY代入上面的圆方程，

得X2Y22X2Y2k2a，即a2a2k21. 这就是椭圆的方程，这表明，圆被压缩后变为椭圆.