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极坐标复习一----------教学设计

教学目标：

1 复习巩固极坐标与极坐标系的概念，进一步熟悉常见曲线的极坐标方程。

2 熟练掌握极坐标和直角坐标的互花

3 能够解决简单的综合题目

教学重点：常见曲线的极坐标方程、极坐标和直角坐标的互花

教学难点：极坐标的灵活运用

教学过程：

梳理基本概念

1．极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：

ρ＝x＋y，x＝ρcos θ，或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

yy＝ρsin θtan θ＝x≠0x

222

2．常见曲线的极坐标方程

曲线

圆心在极点，半径为r的圆

图形

极坐标方程

ρ＝r(0≤θ<2π)

圆心为(r,0)，半径为r的圆

πr，，半径为r的圆

圆心为2ππ－≤θ<

ρ＝2rcos_θ22ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)

θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋

α(ρ∈R) ππ－<θ<

ρcos θ＝a22过极点，倾斜角为α的直线

过点(a,0)，与极轴垂直的直线

πa，，与极轴平行的直线

过点2

基础训练

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) ρsin_θ＝a(0<θ<π)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(

×

) π2，－.(

√

) (2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是3(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(

√

) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(

×

)

2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(

) π1，

A.2C．(1,0)

答案

B 解析

方法一

由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成π1，－. 标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为2ππθ＋，知圆心的极坐标为1，－，故选B. 方法二

由ρ＝－2sin θ＝2cos22

π2，，则过点P且平行于极轴的直线方程是(

) 3．在极坐标系中，已知点P6A．ρsin θ＝1

C．ρcos θ＝1

B．ρsin θ＝3 D．ρcos θ＝3 π1，－

B.2D．(1，π)

答案

A ππ2，转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝3，解析

先将极坐标化成直角坐标表示，P66πy＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标6为ρsin θ＝1. 4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为____________．

答案

x2＋y2－2y＝0 解析

由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.

综合训练

1．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．

解

(1)∵C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，

∴x－3y－1＝0，表示一条直线．

由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，

∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1. ∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．

(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－3y－1＝0上，

∴直线C1过圆C2的圆心．

因此两交点A，B的连线是圆C2的直径．

∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2. πθ＋＝2被圆ρ＝4截得的弦长．

2 在极坐标系中，求直线ρsin4π2θ＋＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x＋y－22＝0.圆ρ＝4可化为x2＋解

由ρsin42y2＝16，

|22|圆心(0,0)到直线x＋y－22＝0的距离d＝＝2，

2由圆中的弦长公式，得弦长

l＝2r2－d2＝242－22＝43. 故所求弦长为43. π2θ－＝. 3．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin42

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

解

(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，

即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

π2θ－＝，

直线l：ρsin42即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，

即x－y＋1＝0. 22x＋y－x－y＝0，x＝0，(2)由得

x－y＋1＝0，y＝1，

π1，. 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为2小结：

(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．

(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．

(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．