2.2.1 直线的参数方程优秀教案说课稿

直线的参数方程教学设计

学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数方程的几何意义；

2.利用参数方程几何意义计算弦长等．

复习回顾：曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化当我们把直角坐标系的原点作为极点，极轴与平面直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的单位长度，则有

[知识提炼·梳理] 1．直线的参数方程

经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程

为_______________ (t为参数)．

2．直线的参数方程中参数t的几何意义

参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．

→温馨提示

(1)当t>0时，M(2)当t<00M的方向向上．→时，M0M的方向向下．(3)当t＝0时，点M与M0重合．

3.你会分清什么时候直线的参数方程中的t的绝对值是动点到定点的距离吗?

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54.设直线l过点A（2，-4），倾斜角为，6则直线l的参数方程是_______.

x2tcos56解析：直线l的参数方程为5(t为参数）y-4tsin63x2-2t，即1（t为参数）。y-4t2

3x＝2－2t，答案：(t为参数)

y＝－4＋1t2

x＝1＋3t，5．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2xy＝2－4t－4y＝5相交于点B，且点A(1，2)，则|AB|＝________．

x＝1＋3t，解析：将代入2x－4y＝5，

y＝2－4t，515得t＝，则B2，0.而A(1，2)，得|AB|＝.

225答案：

2

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类型1

直线参数方程的标准形式(自主研析) 3x＝－3＋2t，[典例1]

已知直线l：(t为参数)．

y＝2＋1t2(1)求直线l的倾斜角；

(2)若点M(－33，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．

πx＝－3＋tcos6，[自主解答]

解：(1)直线l：(t为πy＝2＋tsin6π参数)表示过点M0(－3，2)且斜率为tan的直线，

6π故直线l的倾斜角α＝.

6(2)由(1)知，直线l的单位方向向量

ππe＝cos，sin＝6631，.

22因为M0(－3，2)，M(－33，0)，

31→所以M0M＝(－23，－2)＝－4，2＝－4e，

2所以点M对应的参数t＝－4，

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归纳升华

1．已知直线l上一点的坐标和直线的倾斜角，可直接写出直线参数方程．

2．已知直线l的参数方程求倾斜角α.

x＝x0＋tcos α，(1)若是标准式(t为参数)，则可直接y＝y＋tsin α0得出倾斜角即方程中的α，否则需化成标准式再求α.

(2)若是其他形式，则通过消去参数化成普通方程，再求斜率及倾斜角．

1x＝3＋t，2[变式训练]

(1)若直线的参数方程为(t3y＝3－t2为参数)，则此直线的斜率为(

) A.3

B．－3

C.33

D．－

33π(2)设直线l过点(1，－1)，倾斜角为，则直线l的参6数方程为________．

1x＝3＋t，2解析：(1)直线的参数方程(t为参数)可3y＝3－t21（－t），x＝3＋－2化为标准形式(－t为参数)．

3y＝3＋（－t）2所以直线的斜率为－3.

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πx＝1＋tcos 6，(2)直线l的参数方程为(t为参数)，

πy＝－1＋tsin 63x＝1＋t，2即(t为参数)．

1y＝－1＋t2

3x＝1＋2t，答案：(1)B

(2)(t为参数) 1y＝－1＋t2

类型2

直线参数方程的一般式

x＝5＋3t，设直线的参数方程为(ty＝10－4t[典例2]

数)．

为参(1)求直线的普通方程；

(2)化参数方程为标准形式．

10－y解：(1)由y＝10－4t，得t＝，代入x＝5＋3t，

4得x＝5＋3×10－y.

4化简得普通方程为4x＋3y－50＝0.

(2)把方程变形为

3x＝5＋3t＝5－5×（－5t），

4y＝10＋×（－5t）.5

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34令cos α＝－，sin α＝.

55u＝－5t，则参数方程的标准形式为：

3x＝5－u，5(u为参数)．

4y＝10＋u5

-3t变式训练：化直线l的参数方程x（t为参数）y13t为普通方程，并求倾斜角，说明t的几何意义。

[变式训练]

化直线lx＝－3＋t，的参数方程(ty＝1＋3t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义．

x＝－3＋t，解：由消去参数t，得

y＝1＋3t直线l的普通方程为

3x－y＋33＋1＝0.

π故k＝3＝tan α，即α＝，

3π因此直线l的倾斜角为.

3

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x＋3＝t，又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，

y－1＝3t，（x＋3）2＋（y－1）2所以|t|＝.

2→故|t|是t对应点M到定点M0(－3，1)的向量M0M的模一半．

类型3

直线的参数方程中参数的几何意义的应用(互动探究) π[典例3]

一直线过点P0(3，4)，倾斜角a＝，求此4直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．

x＝3＋解：设直线的参数方程为y＝4＋将它代入已知直线24＋2t，2(t为参数)，

2t2得3(3＋2t)＋23x＋2y－6＝01122，

t＝6，解得t＝－52112. 5则|MP0|＝|t|＝迁移探究（变换条件，改变问法），过抛物线3y4x的焦点F作倾斜角为的直线，它与抛4物线交于A,B两点，求这两点之间的距离。

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[迁移探究]

(变换条件，改变问法)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为3π的直线，它与抛物线交于A，B4两点，求这两点之间的距离．

解：由题意知F(1，0)，

2x＝1－t，2则直线的参数方程为(t为参数)，

2y＝t2

代入抛物线方程得(整理得t2＋4222t)＝4(1－t)，

222t－8＝0，由一元二次方程根与系数的2，t1t2＝－8，由参数t的几何意义关系可得t1＋t2＝－4得

|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝64＝8. 类型4

直线与圆、圆锥曲线的综合(规范解答) [典例4]

(本小题满分10分)已知直线l经过点1P2，1，倾斜角π2·cosθ－4. πα＝，圆C的极坐标方程为ρ＝6

(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；

(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．

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审题指导：(1)由已知直线l经过点1P2，1，倾斜角πα＝，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线l的参6数方程；利用两角差的余弦公式，可得到ρ＝cos θ＋sin θ，进而即可得到圆C的标准方程．

(2)联立直线与圆的方程，我们可以得到一个关于t的方程，由于|t|表示P点到A，B的距离，故点P到A，B两点距离之积为|t1·t2|，根据韦达定理，即可得到答案．

1πx＝＋tcos ，26[规范解答]

(1)直线l的参数方程为

πy＝1＋tsin 613x＝2＋2t，(t为参数)，即(t为参数)．(2分)

1y＝1＋t2由ρ＝π2cosθ－4得ρ＝cos θ＋sin θ，

所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

得x2＋y2＝x＋y，

即圆C12121的直角坐标方程为x－2＋y－2＝.(52分)

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13x＝2＋2t，12121(2)把代入x－2＋y－2＝，

2y＝1＋1t211得t2＋t－＝0，(7分)

24设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，

失分警示：若漏掉此步，则扣1分．

[变式训练]

(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy1x＝1＋2t，中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭3y＝t2圆Cx＝cos θ，的参数方程为(θy＝2sin θ为参数)．设直线l与

椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

1．直线的参数方程的形式有多种，其中参数t不都具有明确的几何意义．

2．经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方x＝x0＋tcos α，程一般写为(ty＝y＋tsin α0是参数)．

其中参数t具有明确的意义，在解题中注意应用．

3．直线参数方程的应用．

直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t的几何意义．

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4．一般涉及弦长问题，均可把直线设为参数方程的x＝x0＋tcos α，标准形式，即(ty＝y0＋tsin αx＝x0＋at，(ty＝y0＋bt为参数)，一般形式为参数)只要满足a2＋b2＝1，也是标准形式.

参考例题2t例1.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程xy1t(t为参数)，在以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标2cos系中，曲线C的极坐标方程为cos2(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（2）若直线l与曲线C相交于A,B两点，求AOB的面积答案：（1）C：x22y,l:xy10(2)3

例2.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x1tcosytsin(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程-4cos，（1）当3（2）已知点P（1，-2），点Q为曲线C2上任意一点，求OPOQ的最大值。

时，C1交C2于A,B两点，求AB第

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