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高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析

五、竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型.

一、两种模型

模型1：“轻绳类”

绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一

个方向给物体力的图1 图2 作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，v0gR

(2)小球能通过最高点的条件：vgR，当vgR时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)小球不能过最高点的条件：vgR，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类” 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”，

如图4所示，)：

(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度v00

(2)小球过最高点时，轻

图3 图4 杆对小球的弹力情况：

①当v0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即Nmg；

v2v2②当0vgR时，因mgNm,则Nmgm. RR轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是mgN0．

【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运

图5 动，问A点的高度h至少应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v临界Rg，根据12机械能守恒定律得mghmg2Rmv临界

25把v临界Rg代入上式得：hminR．

2【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少? 【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B受到三个力作用:电场力FqE，方向竖直向上；重力mg；弹力N，方向竖直向下．由向心力公式，有2vBmgNqEm

R要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临

界状态，其速率vB为图6 临界速度，临界条件是N0．由此可列出小球的临界状态方程为2vBmgqEm ①

R12根据动能定理，有(mgqE)(h2R)mvB ②

25解之得：hminR 22vB说明

把②式中的mgqE换成m，较容易求出R5hminR

2【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率vB为③当vgR时，N0；

v2v2④当vgR时，则mgNm，即Nmmg，

RR杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零. 小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v≠gR(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体.

二、两种模型的应用

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高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析

临界速度，临界条件是N0．由此可列出小球的临界2vB状态方程为：mgqEm ①

R12根据动能定理，有(mgqE)(h2R)mvB ②

25由上述二式解得：hminR 2小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度g1”比例1中的重力加速度g减小，例3中的“等效重力加速度g2”比例1中的重力加速度g增大．

12例2中v临界Rg1，mg1hmg12Rmv临界；

212例3中v临界Rg2，mg2hmg22Rmv临界．

2把v临界代入各自对应的式子，结果mg1、mg2分别都约5去了，故hminR．

2【例4】如图7所示，一个带正电q、质量为m的电荷，【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B，说明小球此时处于临界状

图 8 态，其速率vB为临界速率，临界条件是N0，由此可列出小球的临界状2vB态方程为

mgqvBBqEm ①

R12 (mgqE)(h2R)mvB ②

2由①式可得: vBR4m2qB(qB)(mgqE)

2mR因vB只能取正值，即

vBR4m2qB(qB)(mgqE)

2mR则hminR24m22RqB(qB)(mgqE)

8m(mgqE)R2从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁

图7 场)，问点A的高度至少应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B，说明小球此时处于临界状态，其速率vB为临界速率，临界条件是N0，由此可列出小球的临界状态方程为

2vB mgqvBBm ①

R12 mghmg2RmvB， ②

2R4m2g2由①式可得: vBqB(qB)

2mRR4m2g2因vB只能取正值，即vBqB(qB)

2mR则hminR22R8m2g4m2g2qB(qB)

R2【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q、质量为m的电荷，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A的高度h至少应为多少? 小结

小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是N0．

【例6】如图9所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径两段轨R0.2m的半圆，道相切于B点，整个轨道

处在竖直向下的匀强电图 9 3场中，场强大小E5.010V/m.一不带电的绝缘小球甲，以速度v0沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m1.0102kg，乙所带电荷量q2.0105C，g取10m/s2.(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移) （1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；

（2）在满足(1)的条件下。求的甲的速度v0；

（3）若甲仍以速度v0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围. 【解析】（1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为vD，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，则

2vD1mgqE2

①

2R(mgqEm)t

②

2mRxvDt

③

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高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析

联立①②③得x0.4m

（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有

mv0mv甲mv乙

④

121212mv0mv甲mv乙

⑤ 222联立④⑤得

v乙v0 ⑥

1212由动能定理，得mg2RqE2RmvDmv乙

⑦ 22示，由牛顿第二定律，有: 2v2mgFm

L解得：v2gLFLgL

m可见vAgL是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度．

(3)杆长L0.5m时，临界速度v0gL2.2m/s，

2vAvA0.4m/s

联立①⑥⑦得v05(mgEq)R25m/s ⑧ m（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为vM、vm，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有

Mv0MvMmvm ⑨ 111222 Mv0 ⑩ MvMmvm2222Mv011 联立⑨⑩得vm ○Mm11和M≥m，可得

v0≤vm＜2v0 ○12 由○恒．设B点所处水平面为参考平面,则1212, mvAmg2LmvB222解得vBvA4gL4.5m/s．

2vB在最低点B，小球m受拉力FB，由FBmgm

L2v解得FBmgmB25.3N．

L'设乙球过D点时速度为vD，由动能定理得

【例8】如图13所示，光滑的圆管轨道AB部分平直，1'212圆管截面BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，13 mg2RqE2RmvDmvm ○22半径r，有质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平'12○13得2m/s≤vD＜8m/s

○14

联立⑧○初速度度v0射入圆管. 设乙在水平轨道上的落点距B点的距离x'，有

C

端出来，初速

v0多大? (1)若要小球能从''15

xvDt

○(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型'14○15得：0.4m≤x＜1.6m

联立②○【例7】如图10所示，杆长为L，一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动．g10m/s2求：

(1)小球在最高点A的速度vA为

多少时，才能使杆和小球m的作用图 10 力为零? (2)小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度分别是多少? (3)若m0.5kg，L0.5m，vA0.4m/s，则在最高点A和最低点B，杆对小球m的作用力多大? 【解析】此题属于“轻杆类”．若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力2vAmg提供，根据牛顿第二定律，有：mgm

L解得vAgL

(2)若小球m在最高点A时，受拉力F，受力如图11v12所示，由牛顿第二定律，有: Fmgm

L情况，初速度v0各应满足什么条件? 图13

【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”．

(1)小球恰好能到达最高点的条件是vC0，由机械能12守恒，初速度应满足：mv0

mg2R，即v04gR．2 要使小球能从C端出来，需vC0，所以入射速度v04gR．

(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况：

①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即 2vC mgm. L122由机械能守恒定律，知1mv0

mg2RmvC22FLgL

解得v1gLm 若小球m在最高点A时，受推力F，受力如图12所联立解得: v05gR

2vC②对下管壁有压力，应有mgm，相应的入射速度L版权所有

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高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析

v0应满足4gRv05gR．

2vC③对上管壁有压力，此时应有mgm，相应的入射L速度v0应满足v05gR

小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加速度.

【例9】如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径R(比细管的半径大得多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别

图 14 为mA、mB，沿环形管顺时针运动，当A球运动到最低点时，速度为vA，B球恰到最高点，若要此时圆管的合力为零，B的速度vB为多大？

【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”．在最低点对A球进行受力分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有2vANAmAgmA

R由牛顿第三定律，球A对

管有向下的压力图15 图16 NA'NA，根据题意NA'NB',即球B对对管有向上的压力NB'，球B受力变速率通过凸形路面，路面半径为15m，若汽车安全行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少?若汽车达到临界速度时将做何种运动?水平运动位移为多少?

图19 【解析】(1)此题属于“轻绳类”，即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件为汽车对轨道压力N0，则汽车不脱离最高点的临界2v0速度为v0，则有：mgm，可得v0gR；

R(2)当v0gR时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，且有初速度gR，故做平抛运动，则

1

Rgt2，xv0t,可得:x2R．

2【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如图20所示．已知

图 20 握绳的手离地面高度为d，手与3球之间的绳长为d，重力加速度为g．忽略手的运动4半径和空气阻力．

（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2．

（2）问绳能承受的最大拉力多大？

（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规11律，有：竖直方向

dgt2

42水平方向

dv1t，得：v12gd

12123由机械能守恒定律，有：mv2mv1mg(dd)，224得：v25gd

2情况，如图16所示，由牛顿第三定律，管对球B有向下的压力NB,NB'NB，对球B应用牛顿第二定律，v2有：NBmBgmB,由于NANB

RmA2mAvA(1)gR

联立可得vBmBmB三、小球在凸、凹半球上运动

如图17所示，小球在凸半球上最高点运动时：

(1)当0vgR，小球不会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点．

(2)当vgR，因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动．

(3)当vgR，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动．

如图18所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要v0即可．

由以上分析可知，通过凸(或凹)半球最高点(或最低点)的临界条件是小球速度0vgR(或v0)．

【例10】如图19所示，汽车质量为1.510kg，以不4图17 图18

（2）设绳能承受的最大拉力为T，这也是球受到绳的3最大拉力大小，球做圆周运动的半径为Rd

4v1211由向心力公式，有Tmgm，解得Tmg

R3（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，

v32有Tmgm，得v3l8gl

3绳断后球做平抛运动，竖直位移为dl，水平位移为版权所有

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x，时间为t1，有：dl12gt1，xv3t1

2得：x4当ll(dl)，

323dd

时，x有极大值

xmax32总结 竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类，“轻绳”只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点对物体拉力为零是临界条件，即F拉0；在最高点，“轻杆”对物体既可以产生拉力，也可以产生支持力，还可以对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是临界条件，即N0．

在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时，一定要区分“几何最高点”与“力学最高点”不一定是对应的，上面总结的“轻绳类"和“轻杆类”规律必须是“力学最高点”．

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