三元一次方程组的解法2国家优质课一等奖

*8.4 教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．会解三元一次方程组．

三元一次方程组的解法

2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．

【过程与方法】

经历探索三元一次方程组的解题过程，体会其内涵．

【情感态度与价值观】

培养数学化归思想，使学生真正体验到数学的应用价值．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握三元一次方程组的解法．

【教学难点】

掌握解三元一次方程组过程中化“三元”为“二元”或“一元”的思路．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P103～P105的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．(教材P103问题引入)小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张．

思考下列问题：

(1)题目中有几个未知数，如何去设？

解：设1元、2元、5元的纸币各x张、y张、z张．(共三个未知数) (2)根据题意你能找到等量关系吗？

解：三种纸币共12张；三种纸币共计22元；1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．

(3)根据等量关系你能列出方程组吗？

x＋y＋z＝12，

①解：得方程组x＋2y＋5z＝22，

②

x＝4y.

③(4)解(3)中所列方程组．

4y＋y＋z＝12，解：(方法一)把方程③分别代入①②，得

4y＋2y＋5z＝22.y＝2，解这个方程组，得

z＝2.

把y＝2代入③，得x＝8. x＝8，因此，三元一次方程组的解为y＝2，z＝2.

(方法二)①×5－②，得4x＋3y＝38.④

x＝4y，③与④组成方程组，得

4x＋3y＝38.x＝8，解这个方程组，得

y＝2.

把x＝8，y＝2代入①，得z＝2. x＝8，因此，三元一次方程组的解为y＝2，z＝2.

2．方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

3．解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的．

三元一次消元二元一次消元一元一次―→方程组――→方程

方程组―环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 3x＋4z＝7，

①【例1】(教材P104例1)解三元一次方程组2x＋3y＋z＝9，

②5x－9y＋7z＝8.

③

【互动探索】(引发学生思考)方程①只含x、z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x、z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．

【解答】②×3＋③，得11x＋10z＝35.④

3x＋4z＝7，①与④组成方程组

11x＋10z＝35.

x＝5，解这个方程组，得

z＝－2.

1把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，所以y＝. 3x＝5，1因此，这个三元一次方程组的解为y＝3，z＝－2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)此方程组的特点是①中不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之用代入法运算较繁琐．

【例2】(教材P105例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a、b、c的值．

【互动探索】(引发学生思考)把a、b、c看作三个未知数，分别把已知的x、y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．

a－b＋c＝0，

①【解答】由题意，得三元一次方程组4a＋2b＋c＝3，

②25a＋5b＋c＝60.

③②－①，得a＋b＝1.④

③－①，得4a＋b＝10.⑤

a＋b＝1，④与⑤组成二元一次方程组

4a＋b＝10.a＝3，解这个方程组，得

b＝－2.

把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5. a＝3，因此b＝－2，c＝－5.

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列方程组中不是三元一次方程组的是(

D

) x＝5A.x＋y＝7

x＋y＋z＝6

x＋y＝3B．y＋z＝4z＋x＝2

x＋3y－z＝1C.2x－y＋z＝33x＋y－2z＝5

x＋y－z＝7D．xyz＝1x－3y＝4

2．已知关于x的代数式ax2＋bx＋c，且x＝－1时，代数式的值为－1；x＝0时，代数式的值为2；x＝1时，代数式的值为3，则a＝－1，b＝2，c＝2. 3．解方程组：

x－2y＝－9，①(1)y－z＝4，

②2z＋x＝47；

③

3x－y＋2z＝3，

①(2)2x＋y－3z＝11，

②x＋y＋z＝12.

③

解：(1)③－①，得y＋z＝28.④

②＋④，得2y＝32，即y＝16. 把y＝16代入④，得z＝12. 把z＝12代入③，得x＝23. x＝23，因此，这个三元一次方程组的解为y＝16，z＝12.(2)①＋②，得5x－z＝14.④

②－③，得x－4z＝－1.⑤

5x－z＝14，④与⑤组成二元一次方程组

x－4z＝－1.x＝3，解这个方程组，得

z＝1.

把x＝3，z＝1代入③，得y＝8. x＝3，因此，这个三元一次方程组的解为y＝8，z＝1.活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】已知|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a、b、c的值．

【互动探索】本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0. 【解答】因为三个非负数的和等于0，

所以每个非负数都为0，

a－b－1＝0，所以得方程组b－2a＋c＝0，2c－b＝0，

a＝－3，解得b＝－4，c＝－2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)几个非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 概念三元一次方程组解法应用练习设计

请完成本课时对应练习！