2.2.1 直线的参数方程课程导入

直线的参数方程教学设计

直线的参数方程

吴雪翠

教材内容解析

本节内容是人教A版选修4—4第二讲第三部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参xx0+tcos,数方程就是点斜式的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教（t为参数）yy0+tsin.材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程．

教学方法与教学手段

教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）．

教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）．

教学目标

1．利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；

2．理解并掌握直线的参数方程中参数t的几何意义；

3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；

4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想．

教学重点

1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；

2．直线的参数方程中参数t的几何意义．

教学难点

1．直线的参数方程中参数t的几何意义；

2．直线参数方程中参数t的几何意义的初步应用．

教学过程

一．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）

探究1．一般地，设直线l经过点M（，且倾斜角为，动点0x0，y0）M（x，y）为直线上任意一点，直线l的单位方向向量记作e（cos，sin）,0，，那么

M0M//e，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t，使得

1

M0M=te，

即，于是，有 （xx0，yy0）（tcos，sin）xx0tcos 

（t为参数）yy0tsin因此，把上面的方程叫做经过点M（，倾斜角为的直线l的参数方程．

0x0，y0）直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．

注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t．

【设计意图】

通过教师引导和启发，由学生自己独立或在小组合作的基础上，借助直线的单位方向向量建立起直线l的参数方程．这是本节课的其中一个重点和关键．

课堂练习

31、已知直线l过点M(1,2)，倾斜角为，写出直线l的参数方程．

42、已知直线l过点M(1,2)，斜率为1，写出直线l的参数方程．

二．参数t的几何意义

探究2．直线l的参数方程中参数t的几何意义是什么？

（cos，sin），所以e1，又因为因为单位方向向量e，

M0M=te所以M0M=te=te=t

于是得到参数t的几何意义：直线l上的动点M到定点M0的距离，等于参数t的绝对值．

探究3．参数t的符号又有什么意义呢？

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上的．

yy0yy00yy0，可知点M在点M0上方，则M0M的方向向上；

（1）若t0，由t=sinyy0yy00yy0，可知点M在点M0下方，则M0M的方向向下；

（2）若t0，由t=sin（3）若t0，则yy0，从而点M点M0重合．

【设计意图】

引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位

2

置，绝对值表示动点到定点的距离．为后面参数的应用做铺垫．

问题3．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？

【设计意图】

回顾数轴概念，理解数轴上的任意一点对应一个实数，点的坐标的绝对值刚好是对应的点到原点的距离．

问题4．数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？

规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。

已知数轴上两点A，B的坐标分别为xA，xB，则线段AB的中点坐标为的距离为ABxAxB．

类似地，有向直线类似于x轴，则A，B两点间的距离为ABtAtB，线段AB的中点对应的参数为tA+tB．

2xA+xB，A，B两点间2【设计意图】

教材中在有向直线上确定两点间的距离，以及两点对应的参数，有些同学不能立刻理解，而用数轴上两点间的距离以及线段中点的坐标来类比，就可以帮助学生很好的理解，这里类比思维起到了重要作用．

三．直线参数方程的应用

变式2．已知直线l过点M(1,2)，斜率为1，且与抛物线yx2交于A，B两点．求线段AB的长和点M(1,2)

到A，B两点的距离之积．

解：解法一（解析法）：

因为直线l过点M(1,2)，且l的斜率为1，

所以它的普通方程为y2(x1)，即xy10

xy101535A(,)，由可知两交点坐标分别为222yx

3

B(1535,)

所以AB=10，MAMB2．

22解法二（参数法（一））：

2t,x12

将直线l的参数方程代入抛物线方程得

（t为参数）y22t.2

t22t20

解之得t1=210210，t2=．

22

所以由参数t的几何意义得

AB=MAMBt1t210，

MAMBt1t2t1t22

解法三（参数法（二））：

2x1t,2（t为参数）

将直线l的参数方程代入抛物线方程得

y22t.2t+t2

t22t20

所以由韦达定理可知12

t1t22

所以由参数t的几何意义得

AB=MAMB1t2t12t2t(+t)t41212tt，10

MAMBt1t2t1t22

【设计意图】

这是教材中的一道例题，做了适当的改动，变成两个问题求解，这样安排便于学生更容易熟悉直线的参数方程，其次在变式2中，设计了三种方法求解，第一种刚好就是课题引入前的引例让学生在自主解答的过程中去感受和体会引入参数的优越性，解析法容易想，但是不容易算，参数法的引入就使问题的计算趋于简单化，这也是引入参数方程的目的所在．

对接高考：

4

练习小结：

（1）体会参数法在解决几何问题时的方便性；

（2）数轴任意一点对应的坐标x相当于直线上任意一点对应的参数t；

（3）数轴上任意两点x1，x2之间的距离是x1x2=(x1+x2)24x1x2，直线上任意两点间的距离刚好等于A，B两点对应的参数之差的绝对值ABt1t2(t1+t2)24t1t2五．本课小结

xx0+tcos,1．直线的参数方程; （t为参数）yy+tsin.02．直线参数方程中参数t的几何意义；

3．何时选择直线的参数方程？

直曲相交比较难；

只是计算有点繁；

已知直线过定点；

用参！

六．作业

教材P39习题2．3 第1，2，3，4题．

附：板书设计

直线的参数方程

一．直线的参数方程

四．参数方程的应用

xx0+tcos,



例1．解法一、解法二、解法三

（t为参数）yy0+tsin.二．参数t的几何意义

练习

五．本课小结

三．参数t的符号的意义

六．作业布置

5