2.2.1 直线的参数方程PPT配套教学设计内容

直线的参数方程教学设计

教材：人教A版《选修4—4》

执教人：宋伟

学校：唐山市第二十三中学

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直线的参数方程

唐山市第二十三中学

宋伟

教材：人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》（A版）选修4—4 坐标系与参数方程P35~P39，分两节课完成，本教案是第一节课，内容主要在P35~P37．

教材内容解析

本节内容是人教A版选修4—4第二讲第三部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线方程的五种形式，而本节课用到点斜式是最常用也是非常重要的形式。在教科书中先回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方xx0+tcos,程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参数方程就是点斜式（t为参数）yy0+tsin.的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．

学情分析

学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性．而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中．高二学生的学习过程更是如此．

之前圆和椭圆的参数方程学生已经很熟悉，并且有其相应的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?由于文科学生没有接触过直线方向向量的定义，所以，教学过程避开了方向向量变成了与直线平行的单位向量。

教学方法与教学手段

教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）．

教学手段：多媒体辅助教学。

教学目标

1．利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；

2．理解并掌握直线的参数方程中参数t的几何意义；

3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；

4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想．

教学重点

1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；

2．直线的参数方程中参数t的几何意义．

教学难点

1．直线的参数方程中参数t的几何意义；

2．直线参数方程中参数t的几何意义的初步应用．

教学过程

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一．课题引入

问题1．已知直线l：xy10与抛物线yx2交于A，B两点，求M(1,2)

到A，B两点的距离之积．

解：解析法

xy1015351535由可知两交点坐标分别为，A(,)B(,)

22222yx所以MAMB(11523521+52352)(2)(1)(2)

2222 (35)(35)=2．

【设计意图】

通过几何法求解距离，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引入本节课题做铺垫．

问题2．有没有比这种方法更简便的算法？通过前面的学习我们也体会到了很多时候利用参数方程解决问题会很简捷。接着引入本节课题“直线的参数方程”．

二．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定本节课的重点）

探究1．一般地，设直线l经过点M（，且倾斜角为，动点M为直线上任意一（x，y）0x0，y0）（cos，sin）点，直线l平行且与x轴正向所成的角为ａ的单位向量e,0，，那么

M0M//e，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t，使得

M0M=te，

即，于是，有 （xx0，yy0）（tcos，sin）xx0tcos 

（t为参数）yy0tsin因此，把上面的方程叫做经过点M（，倾斜角为的直线l的参数方程．

0x0，y0）注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t．

【设计意图】

通过教师引导和启发，由学生自己独立或在小组合作结合课本，借助直线的单位方向向量建立起直线l的参数方程．这是本节课的其中一个重点和关键．

三．参数t的几何意义（本节课的重难点）

探究2．直线l的参数方程中参数t的几何意义是什么？

（cos，sin）因为单位向量e，所以e1，又因为M0M=te，

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所以M0M=te=te=t

于是得到参数t的几何意义：直线l上的动点M到定点M0的距离，等于参数t的绝对值．

探究3．参数t的符号又有什么意义呢？

当0时，sin0，所以直线l的单位向量e的方向总是向上的．

（1）若t0，M0M与e同向，可知点M在点M0上方；

（2）若t0，，M0M与e反向，可知点M在点M0下方；

（3）若t0，则yy0，从而点M点M0重合．

【设计意图】

引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位置，绝对值表示动点到定点的距离．为后面参数的应用做铺垫．

四．直线参数方程的应用

例1．已知直线l过点M(1,2)，斜率为1，且与抛物线yx2交于A，B两点．求线段AB的长和点M(1,2)

到A，B两点的距离之积．

解：因为直线l过点M(1,2)，且l的斜率为1，

3所以它的倾斜角为，从而直线的参数方程为

42x1t,2（t为参数）

y22t.2

解：解法一（解析法）：

解法二（参数法（一））：

2t,x12

将直线l的参数方程代入抛物线方程得

（t为参数）y22t.2

t22t20

解之得t1=

210210，t2=．

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所以由参数t的几何意义得

，|AB||t1t2|10

MAMBt1t2t1t22

解法三（参数法（二））：

2t,x12（t为参数）

将直线l的参数方程代入抛物线方程得

y22t.2

t22t20

t+t2

所以由韦达定理可知12

t1t22

所以由参数t的几何意义得

，|AB||t1t2|(t1t2)24t1t210

MAMBt1t2t1t22

【设计意图】

这是教材中的一道例题，设计了三种方法求解，第一种刚好就是课题引入前的引例让学生在自主解答的过程中去感受和体会引入参数的优越性，解析法容易想，但是不容易算，参数法的引入就使问题的计算趋于简单化，这也是引入参数方程的目的所在．

例题小结：

（1）体会参数法在解决几何问题时的方便性；

（2）直线上任意两点间的距离刚好等于A，B两点对应的参数之差的绝对值ABt1t2(t1+t2)24t1t2．

当堂检测：已知直线l经过点M01,5，倾斜角为

（1）写出直线l的参数方程（2）求直线l和直线x3

y230的交点到M0的距离。【设计意图】巩固直线参数方程的几何意义

五．本课小结 xx0+tcos,1．直线的参数方程; （t为参数）yy0+tsin.2．直线参数方程中参数t的几何意义；

3．何时选择直线的参数方程？

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附：板书设计

直线的参数方程

一．直线的参数方程

四．参数方程的应用

xx0+tcos,

例1．

（t为参数）yy+tsin.0二．参数t的几何意义

练习

五．本课小结

三．参数t的符号的意义

六．作业布置

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