2.2.1 直线的参数方程教案和课堂实录

教学设计方案

直线的参数方程

唐茴梅 高三 人教版 邵阳县第一中学

一、教学内容分析

从知识的重点性考察分析，必修课本与选修课本中分别学习了直线的方程和圆锥曲线的内容，它们都是高考的重点内容，也是学生学习的难点之一，若将两者结合起来，复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。如果通过直线方程的另一种形式——参数式，则可能使问题的解决变得简单了，而且可以让我们从一个崭新的角度去认识这些问题。另外，从内容的人文价值上来看，直线参数方程的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

二、教学目标

教学目标

知识与技能目标：了解直线参数方程的条件并掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义。

过程与方法目标：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义。熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识，激发学生们的求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神与严谨的科学态度．

教学重难点分析

学习重点：参数t的含义，直线单位方向向量e(cos,sin)的含义。

学习难点：如何引入参数t，理解和写直线单位方向向量e(cos,sin)

学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。

知识链接: 我们学过的直线的普通方程都有哪些? 三、学习者特征分析

本节课的知识量比较大，而且是建立在向量定义基础之上。这些知识学生都已经学过了，在上课之前让学生做一个简单的复习。但是我们会发现课堂上一部分学生由于基础知识不扎实，导致课堂上简单的计算出错，从而影响到学生在做练习时反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题。

因此，本节课采用观察、感知、抽象、归纳、探究，启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以直线的参数方程为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生理解。同时也有意识的增加学生计算量，有待于在以后的教学中督促学生加强动笔的频率，减少惰性。

四、教学过程

1、回忆复习旧知识，做好铺垫

2、直线参数方程探究

3、运用知识，培养能力

4、自主解决，深入理解

5、归纳总结，提升认识 6、布置作业，巩固提高

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

一、教师提出问题：

1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．

2.直线的方向向量的概念．

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．

5.如何建立直线的参数方程二、直线参数方程探究

1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？

教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：

①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OMtOA；②当OM与，t0；

OA方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时）当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），t0；

当M与O重合时，t0；

③|OM|t．教师用几何画板软件演示上述过程．

2.类比分析，异曲同工

问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？

（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？

教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：

问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？

让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l当成数轴后，直线l上点M运动就等价于向量M0M变化，但无论向量怎样变化，都有M0Mte．因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程．

问题（2）：如何确定直线l的单位方向向量e？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那可的直么以集线终把合的点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，起点放在原点，这样所有单位向量的终点就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定单位方向向量．

导学生确定单位方向向量，在此基础上启得出e(cos,sin)，从而明确直线l的量可以由倾斜角来确定．

教师引发学生方向向当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．

4. 等价转化，深入探究

问题：如果点M0,M的坐标分别为(x0,y0)、(x,y)，怎样用参数t表示x,y？

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

,[)）因为e(cos,sin)，（0，MMxy(,)x(,y)x,yy0)00(0x0，

又M0M//e，所以存在实数tR，使得M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin)．

于是xx0tcos，yy0tsin，

即xx0tcos，yy0tsin．

因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos （t为参数）． yy0tsin教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t的取值范围是什么？

③参数t的几何意义是什么？

总结如下：①x0,y0，是常量，x,y,t是变量；

②tR；

③由于|e|1，且M0Mte，得到M0Mt，因此t表示直线上的动点M到定点M0的距离．当M0M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴（直三、运用知识，培养能力

例1.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

xy102，得xx10(*)．

2yx设A(x1,y1)，B(x2,y2),由韦达定理得：x1x21，x1x21．

解法一：由AB1k2(x1x2)24x1x22510．

1515，

，x2223535．

y1，y22215351535所以A(,)，B(,)．

2222由（*）解得x1则MAMB(115)2(235)2(115)2(235)2

2222353542．

解法二、因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程是

3432x1tcosx1t42 （t为参数）， 即 （t为参数）．

y2tsin3y22t42把它代入抛物线的方程，得t2t20，

解得t12210210，t2．

22线）正方向相反时，t0；当t0时，点M与点M0重合．由参数t的几何意义得：ABt1t210，

MAMBt1t22．

在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法。

五、归纳总结，提升认识

教师在学生总结的基础上再进行概括．

1．知识小结

本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．

2．思想方法小结

六、教学评价设计

节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．

研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想

本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t表示，因此可以选择坐标t为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t与坐标x0,y0及倾斜角之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．

在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．

本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．