1.4.2 圆心在点处且过极心的圆优质课教案

圆的极坐标方程（习题课）

建昌县第三高级中学 马文娟

学习目标：掌握圆的极坐标方程和直角坐标方程的相互转化．

学习重点：掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程．

一、复习圆的极坐标方程。

1、圆心在极轴上的点（a,0）且过极点的圆的极坐标方程

(a, 2、圆心在点

2

且过极点的圆的极坐标方程

) 3、圆心在极轴上的点（a , ）且过极点的圆的极坐标方程

4、圆心在点（a, ）且过极点的圆的极坐标方程

为

3π[例1]

求圆心在A2，，并且过极点的圆的极坐标方程，2并把它化为直角坐标方程．

[思路点拨]

结合题意作出图形，设出动点M(ρ，θ)，根据条件建立ρ，θ的关系式化简可求．

[精解详析]

如图，设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，3ππ连接OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－，∠BMO＝，

22从而△BOM为直角三角形，

所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，

3π＝－4sin θ，

即ρ＝4cosθ－2故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ，

∴x2＋y2＝－4y，

即x2＋(y＋2)2＝4为所求圆的直角坐标方程．

π1．在极坐标系中，已知圆C的圆心为3，，半径为3，Q点在圆3周上运动．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若P是OQ的中点，求P的轨迹．

解：(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ，OQ，则|OD|πππ＝6，∠DOQ＝－θ，或∠DOQ＝θ－，∠DQO＝. 332π在Rt△ODQ中，|OQ|＝|OD|cosθ－，

3π即ρ＝6cosθ－. 3(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．

ππ∴2ρ＝6cosθ－.所以ρ＝3cosθ－. 33∴P的轨迹是圆．

[例2]

在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线π2θ－l：ρsin＝. 42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

[思路点拨]

本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法．解答本题需要先求出圆与直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可．

[精解详析]

(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，

即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0. π2θ－直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，

42则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，

即x－y＋1＝0. 22x＋y－x－y＝0，(2)由x－y＋1＝0

x＝0，得y＝1，

故直线l与圆Oπ公共点的一个极坐标为1，. 2解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．

π2．在极坐标系中，直线ρsinθ＋＝2被圆ρ＝4截得的弦长为

4A．22

B．23 C．42 D．43 π解析：直线ρsinθ＋＝2可化为x＋y－22＝0，圆ρ＝4可化4为x＋y＝16，由圆中的弦长公式得2r－d＝2 22222224－2＝243. 一、选择题

1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(

) ππA.1，

B.1，－C．(1,0)

22

D．(1，π) 解析：该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，故π圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为1，－，故选B. 2π2．极坐标方程ρ＝cos－θ所表示的曲线是 (

) 4A．双曲线

B．椭圆

C．抛物线

D．圆

π22解析：∵ρ＝cos－θ＝cos θ＋sin θ，

224222ρ＝ρcos θ＋ρsin θ，

222222∴x＋y＝x＋y，这个方程表示一个圆．

22π3．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点4，作6曲线C的切线，则切线长为 (

)

A．4

B.7 C．22

D．23 π解析：ρ＝4sin θ化为普通方程为x＋(y－2)＝4，点4，化为622直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．由勾股定理：切线长为2322－22－22＝22. 4．点M，N分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN|的最小值是 (

) A．1

B．2 C．3

D．4 解析：ρsin θ＝2化为普通方程为y＝2，

ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，

即(x－1)2＋y2＝1，

圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y＝2的距离减去半径，即为2－1＝1，故选A. 课堂小结

1、如何求圆的极坐标方程。

2、直线与圆的极坐标方程的应用。