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人与船作用模型的解读和拓展

◆灵璧中学

陆加夫

模型解读：人与船开始时都静止，突然人从一端走向另一端的过程中，船向相反方向运动，类似反冲，人停止，船也停止。很多复杂难解的相互作用问题，都可以归结到人船模型上来，从而使问题轻松解决．

拓展1 人船作用的对地位移

例1：如图1所示，长为L、质量为M的小船停在静水中，质量为m的人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人对地面的位移各为多少？

解析：以人和船组成的系统为研究对象，在水平方向不受外力作用，满足动量守恒．设某时刻人的速度为v1，船的速度为v2，取人行进的方向为正，则有：mv1Mv20

上式换为平均速度仍然成立，即

mv1Mv20

两边同乘时间t，mv1tMv2t0，

设人、船位移大小分别为s1、s2，则有，ms1Ms2

①

由图可以看出：s1s2L

②

s1

s2

图1 mML，s2L

MmMmmML，s2L

答案：s1MmMm由①②两式解得s1点评：人船模型中的动力学规律：由于组成系统的两物体受到大小相同、方向相反的一对力，故两物体速度大小与质量成反比，方向相反。这类问题的特点：两物体同时运动，同时停止。

人船模型中的动量与能量规律：由于系统不受外力作用，故而遵从动量守恒定律，又由于相互作用力做功，故系统或每个物体动能均发生变化：力对“人”做的功量度“人”动能的变化；力对“船”做的功量度“船”动能的变化。

拓展2 球和圆筒的作用

例2．如图2所示，一质量为ml的圆筒A，圆筒内外皆光滑，将A置于光滑水平面上，圆筒半径为R.现有一质量为m2的光滑小球B（可视为质点），由静止从圆筒的水平直径处沿筒壁滑下，设A和B均为弹性体，且不计空气阻力，求圆筒向一侧滑动的最大距离．

解析:

小球滑动过程圆筒先向左加速，再先向左减速，当小球运动到圆筒的最右端时，

如图3所示，圆筒向左运动的距离最大，小球和圆筒组成的系统可视为“人船模型”，在水平方向上动量守恒，设圆筒向左运动的最大距离为s1，

此时小球向右运动的距离为s2，由人船模型方程得：

m1s1＝m2s2

①

又因为s1＋s2＝2R

②

由①②得

s1

图

2

2Rm2

m1m2点评：本题以小球带动圆环为情景设置题目，考查对动量守恒条件的

图

3

理解与灵活运用能力．小球和圆槽体作用过程，系统所受合外力并不为0，但在水平方向上

系统不受外力，在水平方向上动量守恒．当小球运动到槽的最右端时，槽瞬间静止；有同学会因为对动量守恒理解不深刻，不能将“人船模型”迁移过来，感到无从求解，也有同学会误认为两个物体相对于地面移动的距离之和等于πR而导致错误。

拓展3 人和气球的应用

例3、载人气球原静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m．若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？

解析：气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒，人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人下滑过程中，人和气球任意时刻的动量大小都相等，所以整个过程中系统平均动量守恒．若设绳梯长为L，人沿绳梯滑至地面的时间为

t，由图4可看出，气球对地移动的平均速度为（L－h）/t，人对地移动的平均速度为h/t（以向上为正方向）．由动量守恒定律，有

M（L－h）/t－m h/t＝0．解得L＝Mmh．

M图4

Mmh

答案：M点评：ms1Ms2是“人船模型”的位移与质量的关系，此式的适用条件：原来处于静止状态的系统，在系统发生相对运动的过程中，某一个方向上动量守恒．另外，方程中s1、s1是两个物体相对于地面的位移．此结论与两物体的速度大小无关．不论是匀速还是变速，那么结论都是相同的。

拓展4 摆球和圆环的作用

例4、如图5所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当绳与A B成θ角时，圆环移动的距离是多少？

A

M

答案：x2B

mL(1cos)

MmA

m

图5

解析：虽然小球、圆环系统在运动过程中合外力不为零，但是系统在水平方向不受外力，因而水平方向动量守恒．水平方向的运动可视为“人船模型”，当细绳与AB成θ角时，设小球、圆环水平位移大小分别为x1、x2，则有

B

θ

mx1Mx2

①

由如图6，由几何关系得

x1x2LcosL

②

由①②两式解得，圆环移动的距离

x2

Lcosx1

x2mL(1cos)

Mm图6 点评：本题以小球带动圆环为情景设置题目，考查对动量守恒条件的理解与人船模型灵活运用能力．有同学会因为对动量守恒条件理解不深刻，对系统水平方向动量守恒感到怀疑而无法列出守恒方程，也有同学会因找不出小球与圆环的位移关系而感到茫然。正确画出两物体的运动过程位移关系, 联想重要物理模型，灵活选择动量守恒的表达形式是解决问题的关键.