解决问题优质课教案

《圆面积的综合应用》教学设计

【教学内容】人教版小学数学教材六年级上册第69～70页例3及相关练习。

【设计理念】《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“实施建议”中提出：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的”。因此，教者在本节课中，首先出示两个“外方内圆”和“外圆内方”的美丽设计及问题，然后通过让学生剪拼来引导学生经历解决一个问题的所有步骤：理解现实的问题情境，转化成要解决的数学问题，分析问题，从而找到解决问题的方案并解决之，对解答的结果和解决的方法进行检验和回顾反思。重点是使学生在解决问题的过程中积累一般性的问题解决经验。

【教材分析】教材十分注重将本单元知识与生活实际结合起来。一方面，教材注意从生活中的现象来引入学习，提高学生的兴趣，体现概念引出的必要性。另一方面，重视用数学知识来解决生活中的实际问题，或将学到的数学知识和技能应用于生活实际，体现了数学学习的重要价值。在“圆的面积”部分，增加了解决实际问题的内容，即求圆与外切正方形、内接正方形之间的面积。要求学生利用图形之间的关系，灵活计算这两部分的面积，并在“讨论”环节进一步得出更为一般化的结论。要计算正方形的面积，首先要求出正方形的边长，这是比较常规的思路。例如，求圆的外切正方形的面积时，观察到正方形的边长和圆的直径相等，所以很容易求出来。但在求圆的内接正方形的边长时学生却遇到了困难，圆的直径和正方形的对角线相等，但没有办法直接求出正方形的边长。此时，教材引导学生改变观察角度，把正方形分割成两个三角形，这两个三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，很容易求出其面积。在解决几何问题时，有时换一个角度看问题，会发现一个全新的世界。经历这样的问题解决过程，有助于提高学生多角度分析问题的意识和能力。解决了圆半径是1 m的特殊问题后，教材在“回顾与反思”环节，进一步讨论两个圆的半径都为的情况，使学生发现，圆的外切正方形面积是，外切正方形与圆之间的面积是,内接正方形的面积是，圆与内接正方形之间的面积是。这些结果中隐藏着很多有意思的数学事实，如：外切正方形的面积始终是内接正方形面积的2倍，外切正方形与内

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接正方形之间的面积正好是,即和内接正方形的面积相等，

【学生分析】在学生已有圆、正方形面积和圆环面积计算方法的基础上，来学习这两种特殊(外方内圆、外圆内方)图形之间部分的面积。首先学生会通过剪拼去理解求的是哪部分的面积；然后通过讨论交流的形式来找到解决问题的方法。在解决问题结束之后对解题过程进行回顾与反思，展开进一步的讨论，从而得出一般性的规律。

【

教学目标】

1．结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。

2．在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。

【教学重点】掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算。

【教学难点】对组合图形进行分析。

【教学准备】课件、学具。

【教学过程】

一、

创设情景，导入新课

（一）计算下面各题

1. 一个圆的周长是12.56cm，求它的半径？

2. 一个圆形茶几面的半径是3dm ，它的面积是多少平方分米？

3、一个正方形的边长是5m，它的面积是多少平方米？

4、一个环形，内圆的半径是4㎝，外圆的半径是5㎝，这个环形

面积是多少？

（二）口答

1、正方形的面积计算公式是（ ），

2、三角形的面积计算公式是（ ），

3、圆的周长公式是（ ）或（ ），

4、圆的面积公式是（ ）。

5、圆环的面积计算公式是（ ）。

（三）师:有了这些计算公式和计算方法，我们不但能计算上面的题目，还可以

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应用这些公式解决一些组合图形的问题。

揭示课题：今天我们就来应用圆的面积计算公式解决问题

。

【设计意图】创设情景能让学生回忆起已有的知识，为学新知作铺垫。

二、探究新知，解决问题

1．实践操作（课件出示教材例3中的雕窗插图）

师:这是我们中国建筑中经常见到的一种设计,美吗?

师：谁能说说这两种设计有什么特征？

预设1：左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的里面是方的。

师：我们可以将上述特征分别概括地称为外方内圆、外圆内方。

预设2：都是由圆和正方形这两个图形组成的。

师：也就是我们以前学过的什么图形？（组合图形）你能用学具组合出这两个图形吗？学生操作，作品展示。

【设计意图】动手操作的过程是从实物中抽象出图形的过程，使学生充分体会图形的组合与位置关系，理解组合图形面积的产生。与此同时，激活了原有的关于组合图形的认识，找到了新知的生长点。

2．解决问题

（1）阅读与理解

师：怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么条件？用什么方法？先想一想，再同桌交流。

预设1：正方形的面积-圆的面积=它们之间部分的面积；

圆的面积-正方形的面积=它们之间部分的面积。

预设2：需要知道正方形的边长和圆的半径。

师：只告诉你这两个圆的半径都是1米，你能计算出这两部分的面积吗？

（2）分析与解答

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师：我们先来看看左图。怎么计算左图中正方形和圆之间部分的面积？

师：图中正方形的边长与圆的直径有什么关系？

根据学生回答课件展示：正方形的边长=圆的直径。

学生尝试解决问题，指名板演，集体订正。

预设：S正=a2=2×2=4（㎡） S圆=∏r2=3.14×12=3.14(㎡) S正- S圆=4-3.14=0.86(㎡)

师：在右图中你能得出正方形的边长吗？

生：（不能）

师：为什么？

预设：因为正方形的边长不知道。

师：那该如何计算正方形的面积呢？

预设1：可以把右图中的正方形看成两个三角形。

追问：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？

预设2：底是2 m，高是1 m，相当于圆的直径和半径。

师：很好，你观察得真仔细。

结合学生回答，课件展示。

预设3：也可以看成四个三角形。

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师：这样一来，每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？（底和高都是1 m，相当于圆的半径。）

师：那么，圆与正方形之间部分的面积可以怎样计算？

(让学生独立计算,师生点评。) S圆=∏r2=3.14×12=3.14(㎡) S正=（

S圆- S正=3.14-2=1.14 或，S正=（1×1×1）×4=2（㎡） S圆- S正=3.14-2=1.14 21×2×1）×2=2（㎡） 2【设计意图】让学生经历观察思考、分析推理等学习活动，得出公共边以及图形各要素之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决。教学过程中，注重把时间和空间还给学生，教师只用几个简单的设问，引出的却是学生自主学习的过程展示。

三、回顾反思，形成一般性的结论。

师：既然这两种是特殊的组合图形（方内接圆、圆内接方），那么要求它们之间部分的面积时能不能像推导圆的面积公式一样也能推导出一个求它们之间部分的面积公式来，使以后计算更方便一些呢？

师：如果两个圆的半径都是，结果又是怎样的？结合左图我们一起来算一算。

左图：S正- S圆=（2r）2-3.14×r2=4 r2-3.14 r2=0.86 r2

师：像这样，你能计算出右图中正方形和圆之间部分的面积吗？

学生练习，反馈讲评。

右图：S圆- S正=3.14×r2-(1×2r×r)×2=1.14 r2

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师：我们可以把题目中的条件=1 m代入上述的两个结果算一算，有什么发现？

预设：和之前计算的结果完全一致。

师：这样的话，也就是说以后我们计算外方内圆、外圆内方之间部分的面积时就可以分别直接用0.86 r2和1.14 r2来计算了。

【设计意图】“授人以鱼，不如授人以渔”，在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律是本堂课教学的重要内容。在层层深入的学习过程中，始终坚持为学生创设探索的情境，利用知识内在的魅力吸引学生主动投入到知识的发展过程中。

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四、课堂练习，强化认识

1、基本练习

解决课本P70“做一做”

让学生独立完成，指名板演，师生点评。

2、比较分析

解决课本P72第9题

让学生独立完成，指名板演，师生点评。（做这题的目的是为了和前面“做一做”作对比。“做一做”可以直接用公式计算，而这题不能用公式计算。）

3、发展提高

有一块长20米，宽15米的长方形草坪，在它的中间安装了一个射程为5米的自动旋转喷灌装置，它不能喷灌到的草坪面积是多少？

师：求不能喷灌到的草坪面积，就是求什么？

【设计意图】基础练习的设计在于运用新知解决生活中的实际问题，并强调对结果进行验证的意识。

五、全课总结，畅谈收获

通过本节课的学习，你有什么收获？谁来说一说。

【板书设计】

圆面积的综合应用 左图：正方形面积－圆的面积=它们之间的面积 S正=a2=2×2=4（㎡） S圆=∏r2=3.14×12=3.14(㎡) S正-s圆 =4-3.14=0.86(㎡)

右图：圆的面积－正方形的面积=它们之间的面积 S圆=∏r=3.14×1=3.14(㎡) S正=（

S圆- S正=3.14-2=1.14 或，S正=（1×1×1）×4=2（㎡） S圆- S正=3.14-2=1.14（㎡）

2221×2×1）×2=2（㎡） 2回顾与反思：

如果两个圆的半径都要是r，那么

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左图：S正- S圆=（2r）2-3.14×r2=4 r2-3.14 r2=0.86 r2

右图：S圆- S正=3.14×r2-(1×2r×r)×2=1.14 r2

2答：左图中正方形与圆之间的面积是0.86㎡,右图中圆与正方形之间的面积是1.14㎡。

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