三元一次方程组的解法2教学实录

8.4

三元一次方程组的解法

(第2课时) 一、教学目标：

1、知识与技能：

（1）了解三元一次方程组的概念；

（2）掌握三元一次方程组的解法；

（3）能尝试列三元一次方程组解决实际问题。

2、过程与方法：

（1）会用“代入法”“加减法”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来求解；

（2）能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法；

（3）通过求具体问题的解，巩固三元一次方程组解法的基本思路，进一步明确解例2这样的三元一次方程组的过程。

3、情感态度与价值观：

（1）让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法；

（2）让学生认识解方程组的基本思想就是“消元”。无论是解二元一次方程组、还是三元一次方程组，或者是多元一次方程组，基本思路都是化多为少、逐一解决，利用“代入法”或“加减法”，实现“消元”，转化为一元一次方程，从而求解。

二、教学重难点：

1、重点：三元一次方程组的解法

2、难点：如何较灵活地把三元一次方程组转化为二元一次方程组

三、教学过程：

1、复习引入

（1）三元一次方程组的概念：

含有三个不同未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

（2）解三元一次方程组的基本思路：

通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。

三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 （3）在等式y＝kx中，当x＝2时，y＝6，则k＝

3

（4）在等式y＝kx＋b中，若当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5，你能得到一个关于k和b的二元一次方程组吗？

k＋b＝3 2k＋b＝5 【设计意图】让学生回忆解二元一次方程组的基本思路，明确消元思想和“待定系数法”

2、例2的教学

例2 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，求a，b，c的值．

师生活动：学生认真读题，教师通过问题串，引导学生求解这个问题．

问题1 根据已知条件，你能得到什么？

追问1 对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0，根据这个条件会得到什么？

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，会得到方程a－b＋c＝0．若学生回答的结果是0＝a－b＋c，应让学生改写一下．

追问2 你还能列出另外两个关于a，b，c的方程吗？

师生活动：学生给出答案4a＋2b＋c＝3，25a＋5b＋c＝60，并列出由这三个方程组成的三元一次方程组：

a－b＋c＝0，

①

4a＋2b＋c＝3，

②

25a＋5b＋c＝60．

③

【设计意图】让学生利用求代数式值的方法，根据已知条件列出方程，并组成一个关于a，b，c的三元一次方程组．

问题2 你会解这个方程组吗？如何将这个三元一次方程组转化为二元一次方程组？

师生活动：学生回答用消元的方法将三元一次方程组转化为二元一次方程组．

追问1 观察方程组的特点，先消去哪个未知数？为什么？

师生活动：学生给出答案先消去c，会比较简单．

【设计意图】让学生先认真观察系数特征，再说出先消去c的理由，选择系数的绝对值最小的进行消元．

追问2 如何消去c？

师生活动：学生回答：②－①，得a＋b＝1．

④

学生回答：③－①，得24a＋6b＝60，即4a＋b＝10．

⑤

方程④和⑤可组成一个二元一次方程组．

【设计意图】让学生根据方程组中未知数的系数的特征，选择用加减消元法消去c．因为三个方程中c的系数相同，要消两次，由①②式消去c，再由①③式消去c，转化为关于a，b的二元一次方程组．

问题3 现在你能求出这个二元一次方程组的解吗？能得到三元一次方程组的解吗？

师生活动：在教师的引导下，由学生一步步完成这个三元一次方程组的求解过程．让学生进一步明确解三元一次方程组的过程．要将三个三元一次方程两两组合，经过两次消元，得到两个二元一次方程，解这两个二元一次方程组成的方程组，求出这两个未知数的值，再代回原方程组中的任何一个三元一次方程，求出另外一个未知数的值．

解题过程：解：依题意得：

a－b＋c＝0

①

4a＋2b＋c＝3

②

25a＋5b＋c＝60

③

②－①，得

a＋b＝1

④

③－①，得

24a＋6b＝60，即4a＋b＝10

⑤

④与⑤组成方程组

a＋b＝1

解得

a＝3 4a＋b＝10

b＝－2 把

a＝3 代入①，得

3＋2＋c＝0

∴c＝－5 b＝－2 因此

a＝3 b＝－2 c＝－5 ∴a，b，c的值分别为3，－2，－5 【设计意图】让学生完成求解过程．

问题4 如果还是选择消去c，你有其他的方法吗？

师生活动：学生回答③－②可得21a＋3b＝57，即7a＋b＝19．

⑥

方程④与⑥或⑤与⑥也可以组成一个二元一次方程组，也可以求出这个三元一次方程组的解．

【设计意图】让学生体会在消元的过程中，三个三元一次方程两两组合，都可以消元得到二元一次方程组，但在计算时会有繁易的区别．

问题5 消去a或b可以吗？如何操作？

师生活动：学生回答可以．若要消去a，可将②－①×4，得6b－3c＝3，即2b－c＝1，再将③－①×25，得30b－24c＝60，即5b－4c＝10．若要消去b，可将①×2＋②，得6a＋3c＝3，即2a＋c＝1，再将①×5＋③，得30a＋6c＝60，即5a＋c＝10．

【设计意图】让学生明确解三元一次方程组时消去哪个未知数都可以得到二元一次方程组，但是消去不同的未知数，在计算时会有繁易的区别．所以，在解三元一次方程组时，要先认真观察各未知数的系数的特征，再确定消去哪个元及如何消元．

3、尝试练习

（1）解三元一次方程组

3x－y＋z＝4

①

2x＋3y－z＝12

②

x＋y＋z＝6

③

解：①＋②，得

5x＋2y＝16

④

②＋③，得

3x＋4y＝18

⑤

④与⑤组成方程组

5x＋2y＝16

解得

x＝2 3x＋4y＝18

y＝3

把

x＝2代入③，得

2＋3＋z＝6

∴

z＝1 y＝3

∴

这个三元一次方程组的解为

x＝2 y＝3 z＝1

（2）解三元一次方程组

2x＋4y＋3z＝9

①

3x－2y＋5z＝11

②

5x－6y＋7z＝13

③

解：②×2，得

6x－4y＋10z＝22

④

①＋④，得

8x＋13z＝31

⑤

②×3，得

9x－6y＋15z＝33

⑥

⑥－③，得

4x＋8z＝20，即x＋2z＝5

⑦

⑤与⑦组成方程组

8x＋13z＝31

解得

x＝－1 x＋2z＝5

z＝3 把x＝－1

，z＝3代入①，得

－2＋4y＋9＝9

∴

y＝1

2

∴

这个三元一次方程组的解为

x＝－1 1y＝

2z＝3 （3）在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝28，求：1）a，b，c的值；2）当x＝－1时，y的值．

解：依题意得：

a＋b＋c＝0

①

4a＋2b＋c＝5

②

9a＋3b＋c＝28

③

②－①，得

3a＋b＝5

④

③－①，得

8a＋2b＝28，即4a＋b＝14

⑤

④与⑤组成方程组

3a＋b＝5

解得

a＝9 4a＋b＝14

b＝－22 把a＝9，b＝－22代入①，得

9－22＋c＝0

∴c＝13 因此

a＝9 b＝－22 c＝13 1）a，b，c的值分别为9，－22，13

2）当a＝9，b＝－22，c＝13时，y＝9x2－22x＋13 当x＝－1时，y＝9×(－1)2－22×(－1)＋13＝9＋22＋13＝44 师生活动：学生写出解这些方程组的过程中，教师总结消去系数的绝对值最小的未知数会比较简单，找出一些解三元一次方程组的技巧。

【设计意图】巩固三元一次方程组的解法．让学生进一步明确先消哪个元，如何消元．

4、归纳小结

结合例2，你能说说本节课学到了什么吗？

【设计意图】让学生回顾本节课的过程，进一步体会由“三元”到“二元”的转化过程

5、布置作业

（1）课本P106习题8.4 第3，5题（A本）

（2）《新课程》P60 第9题

四、板书设计：

8.4 三元一次方程组的解法（2）

例2

练习

五、教学反思

这节课要求学生必须熟练地掌握三元一次方程组的解法，要善于观察，勤于思考，体会一般思路、题型特征和解题技巧之间的关系。三元一次方程组的解法，是学生在具备二元一次方程组解法这一基础知识后的拓展内容。这节课是三元一次方程组的第二节新课，上节课虽然已经学习解三元一次方程组，但依然有很多学生感觉比较晕，不知从何下手，很难找到解决问题的突破口，因此在这一节课中加强练习外，下节还要再进行巩固才行。重点突破消元思想，转化思想！！

学生层次不同，在教学中今后还要照顾大多数。面向全体学生，使每个学生学到有用的数学。