2 用频率估计概率教案设计（一等奖）

《用频率估计概率》

（义务教育课程标准北师大版九年级上册第三章第2节）

一、教材内容和内容分析

1. 教学内容

本节课是北师大版教材《数学九年级（上）》第三章概率的进一步认识第二节的内容，其教学内容为体会用频率估计概率的必要性和合理性。

2. 教学内容分析

“用频率估计概率”是

“概率的进一步认识”这一章的第二节，也是在学生七年级学习了概率及概率的计算之后对概率的进一步研究。教材这样编排其主要意图有三：

1、遵从概率的产生及发展规律。历史上概率（指客观概率）的定义经历了三个阶段：①概率的古典定义；②概率的统计定义；③概率的公理化定义。

2、符合学生的认知规律。概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结果，学生易于接受，而概率的统计定义其内涵更为深刻。

3、相对于概率的古典定义，用频率估计概率的方法更具一般性与普遍性，它不受列举法求概率两个条件的限制，适用范围更广。

初学统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。在这一节内容中，必须解决三个问题：一是用频率估计概率的必要性；二是用频率估计概率的合理性；三是会用频率估计概率，从而解决实际问题。

3. 本课教学内容的重点和难点

本节的教学重点是：以实例为载体，在大量的重复实验中体会用频率估计概率的必要性与合理性，进而进一步体会概率的意义。

本节的教学难点是：大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率的关系的理解。

二、教学目标分析

初中数学新课程标准对本节课的要求是“知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率”。结合本节课的内容特点及教学重点制定了如下教学目标：

1、了解用频率估计概率的必要性和合理性，初步理解概率的统计定义。

用频率估计概率的必要性是通过林书豪三分绝杀事件进行说明，以问题链的形式引导，①问什么让林书豪投最后一球？②你能计算出林书豪投三分球的命中率么？（前面

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学习了概率的计算方法，列举法、列表法和树状图，但发现这些方法都用不了，给学生一个直观的冲突，进而得到用频率估计概率的必要性）。

用频率估计概率的合理性是通过模拟掷硬币软件验证的，在课堂上同学们自己动手实验比较耗时，而且不能做到大量重复，所以利用模拟掷硬币软件代替。

2、能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率。

能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性。

知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值。

3、培养学生的数学建模和数据分析的能力，培养学生的理性精神。

在经历用试验的方法探究概率的过程中，培养学生的数学建模和数据分析的能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作的精神。

三、教学问题诊断分析

1、频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，只有在大量重复试验的条件下，可以近似地作为这个事件的概率。

概率是巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势，是频率在理论上的期望值，它是一个确定的常数，与试验次数无关。频率与概率是从量变到质变，是对立统一的。

对于两者关系的理解初学者还需要一个循序渐进的过程。

2、在实验环节有如下两个问题：一是由于实验教具不完善，学生的操作出现了错误，经过及时修正对最后的结果影响不大；二是由于误差的不可避免以及试验次数还未达到大量，所以个别组求出的频率与概率误差偏大。

3、容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件。这一问题的出现是对概率思想的内涵把握不够所致。概率是针对大量重复试验而言的，如果试验次数太少，试验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差，进而不能合理的估计概率。

四、教学支持条件分析

在知识层面上，学生在七年级下册第六章《概率初步》中已经学习了频率；在本章的前两节分别学习了概率、概率的计算方法（列举法、列表法和树状图）。

在技术层面上，本节课使用到了随机抽取器、视频、模拟掷硬币软件、excel表格和在线实验辅助教学，这些信息技术工具有机的整合在一起，使得本节课更加科学严谨、更加高效、更加具有趣味性。

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五、教学过程设计

教学

环节

1．

课前利用随机抽取器点名提问：

①抛掷一枚均匀的硬币，正面向上的概率是 .

学生回答并阐述做法，课堂内容、教师活动

学生活动

设计意图

利用随机抽取器点名一方面能激起学生的学习热情，提高注意力；另一方面复习随机事件，体会随机事件就在我们身边.设计这两道题的目的是回顾频率与概率，为后续的深入学习做好铺垫.

2．

新知引入

NBA2011-2012赛季，2月15日尼克斯VS猛龙的比赛中，在最后5秒钟的时候林书豪进了一个三分球扭转

从学生感兴趣的篮球比赛入手，一方面是为了激发学生的听课热情；另一方面通过对最后一球的研究得出学生观看视用频率估计概率的必要频，并在问性.投三分球命中是一个随但为什么让林书豪题中感受到机事件，（因为他的命中率用频率估计来投呢？其中有回顾频率与抽测

②小明抛掷一枚硬币50次，21次正面向上，则正面向上的频率概率的计算为 .

公式

教练是怎样知道他的概率的必要高些）局面，反败为胜. （1）为什么让林书豪来投最后性，逐步引命中率高些呢？（通过平时一球？

大量的训练知道的，但这不入课题．

（2）大家怎样知道林书豪的命能用前面求概率的方法来．

中率高一些？

求）给学生一个冲突（前面（3）频率与概率之间的“桥梁”是什么？

学习的概率的计算方法求不了），进而得到用频率估计概率的必要性.

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3．

探究新知

引入新课后，马上介绍概率论的诞生数学史，也就是用频率估计概率的起源，而任何一个发现必须经过验证才能成为理论，进而才能推广和使用。但由于用频率估计概率的特殊性，我们无法用演绎推理来证

明，只能通过大量重复的试验来验

证.因此设计了两个试验：

1.直接试验（摇骰子）：

问题：同时摇掷两枚骰子，出现的数字和为3的倍数的概率是多

少？

试验：同时摇掷两枚骰子40次，

每隔10次，分别记录“和为3的倍

数的”的次数，汇总数据完成下表：

根据上表中的数据，在下图中画折线统计图表示“和为3的倍数”的频率：

小组派代表上台输入数据，并将相应数据自动生成散点图：

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通过数学史的介绍激发学生的学习积极性

在实验的过程中培养学生的数学建模、分工合作、数据分析、归纳总结等能力，学生动手操在成果展示的过程中培养了学生语言表达、现场应变作，小组合能力。

作探究．

多种教学资源的应用，丰富了学生的感官。

3．

探究新知

小组讨论：结合本小组及其他小组

的实验数据对比思考：

问题一：每个小组观察本小组

“和为3的倍数”的频率随试验次

数增加有何变化？

问题二：在四个表格中，观察

相同试验次数下不同小组“和为3

的倍数”的频率，你有哪些发现？

问题三：在四幅图中，观察不同试验次数下

“和为3的倍数”频

率的波动性，你有哪些发现？

三个问题的设计：

问题1指向频率不确定性及稳定性初步体会：认识学生在问题到随着试验次数增加，频率初串引导下合不一定更接近于理论值，作探究，深步体会频率与概率的区别；入思考，逐问题2进一步体会试验的随机性，依次观察四个不同步得到结试验次数下10组结果，试论．

验次数相同时正面向上的

学生交流方法，在教师引导下去发现和感受用频率估计概率的合理性．

频率不一定相同；

问题3体会频率稳定性：将不同试验次数下“频率的波动性”作为观察对象，分别观察试验次数为10、20、30和40的频率波动大小：随着试验次数的增加，直观感受频率的波动性越来越小。

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3．

探究2.间接试验（掷硬币）：

课堂上时间有限很难真正的做到大量，所以这里我们用计算机进行模拟试验。掷一枚均匀的硬币正面向上的概率是1/2，那在实际的操作中是不是这样呢？

学生上台操作，感受频率的变化，最终得出结论.

用计算机进行模拟试验，快速直观，投掷次数方便控制，对大量重复试验频率可以估计概率这一说法有较强的说服力。

新知

因此我们可以得到：

4．

通过直接和间接实验，证明了大量的重复试验可以用频率估计概率这一说法的合理性，学以致用，那么接下来就是应用环节。着眼于学校，用刚刚所学内容解决学校选篮球运动员的问题。我校进行定点投篮比赛，下表是对某篮球队员进行测试学生独立思考并完成，随机抽取学

此题需要学生对数据进行分析和处理，具有一定的现实意义，同时又是对所学知识很好的运用。在课上我要求第3名做完的同学讲解机事件，谁的回答问题的可能性大这是用到了本节所学知识。

巩固的结果：

新知

（1）根据上表，估计该运动员投球命中的概率是多少？

（2）根据上表，假设该运动员在一场比赛中有20次投球的机会，估计他能得多少分？

生进行讲解

答案，这本身也是一个随

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5．

验收新知

针对本节课内容精选了2道习题较全面的反应了本堂课所学的知识点，形成当学生尝试练习，用本节课学到的用频率估计概率来解决实际问题．

堂练习、有利于老师更全面更彻底的考察每一位学生的学情，它是老师、学生进行课后反思的一个更好的依据。也为下节课的设计提供了一定参考。通过学生的当堂反馈质量来对本节课的“教”作一个客观和理性的思索，真正体现出“以学论教”的教学理念。

请同学分享学完这节课的收获，分享后对学生的总结进行提炼归纳．

学生从数学知识、思想方法等方面进行全面总结．

学生尝试选择，课后思考

一是让学生总结出自己在“做中学”的收获，理清思路，整理经验，从而形成良好的学习习惯；二是加深学生对所学知识的记忆.

玛丽莲的“汽车与山羊”的问题，曾经轰动美国，是非常著名的随机概率问题。直观上给很多人一个错觉就是换和不换是一样的，但仔细研究换的中奖概率是2/3，而不换的中奖概率是1/3，很明显换的中奖概率大些。在此设计是因为这个素材很有趣，并且具有一定

的研究价值，在线实验很好的激发了学生的学习热情。

6．

最后是通过著名的“山羊汽车问归纳题”，让学生对所学知识进行一个小结

再次应用。在你面前有三个门，其中两个门里面是山羊，另外一个是汽车。你当然想得到那辆汽车，而不是臭气轰轰的山羊。主持人要求你选中一个，但是不能打开。此时主持人打开另外一个，是山羊。现在主持人问你，你要不要改成第三个门？

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六、板书设计

§3．2用频率估计概率

一、基本知识

1.概率：

2.频率

二、数学思想与方法

(主板书)

三、例题解答

1：

2：

3：

(副板书)

学

生

活

动

展

示

区

(辅助性板书)

七、课后反思

1．目标达成

2．课后反思

笔者围绕本节课的重难点设计了一系列的活动：由课前抽测的两个问题让学生明白概率与频率的区别，其中随机抽取器的应用不仅一下子吸引了学生们的眼球，而且让学生在课堂上体会到了生活中无处不有的随机现象的发生。

接着视频的导入创设了一个矛盾式的问题情境（也是新旧知识的一个冲突点）：生活中遇到不能直接计算概率这类问题时，又用什么方法去求这类随机事件的概率呢？从归纳小结

内化

学习目标1，2，3

引入新知

进一步达成

探究新知

达成

巩固、验收新知

初步达成

学习目标1，2 学习目标1，2，3

学习目标2

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而让学生体会到用频率估计概率的必要性。

随后学生分组做摸球和掷骰子实验，让所有学生都参与实验，参与课堂，学会分工合作。在这个活动中可以看到师生民主、平等、和谐的课堂氛围；在学生的展示及师生的问答之中，这就实现了学生学习新知的第一轮冲突与平衡。学生得到了结论，学会了方法。

而后观察“模拟掷硬币的实验”这一活动又让学生体会到用“频率估计概率”的可行性。新知识的再冲突与再平衡又一次实现。

结尾时学生参与的“美国著名的羊车实验”，让学生意犹未尽，也让他们对后续的学习与研究充满了期待。

这一系列活动的设计与开展，让学生不仅体验了“用频率估计概率”的必要性、可行性及作用，教会了他们合理分析数据，“用频率去估计概率”这一方法去估计生活中一些随机事件的概率；而且数学思想方法得到了升华，合作学习能力得到提升，情感得到升华。

整堂课中，同学们对我创设的问题很感兴趣，探究非常主动，回答问题非常踊跃，分组讨论、展示活动表现积极．师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期。

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