*5 一元二次方程的根与系数的关系PPT配套教学设计内容

初中数学研究课教案：一元二次方程根与系数的关系

【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝大多数同学掌握的知识程度出发，针对本班学生的特点，本课在(a≠0 , b2 –4ac≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.

教学目标：1、理解根系关系的推导过程；

2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；

3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路

教学重点：应用根系关系解决问题；

教学难点：根系关系的推导过程

教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知，

教学过程：

一、前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：

郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？

董：什么秘密？

郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？

董：哦？

郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2 – 12x +35 =0的两根的积，回去你把2根求出来就知道了. 董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x2 -35x -200=0的2根的和呢. 郑：哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄.

【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活跃，他们自己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.

二、求出下列方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之间的关系

序号

一元二次方程

x1

x2

x1+x2

x1x2

（1）

x2 – 5x +6 =0 2 3 5 6

（2）

2x2 – 3x +1 =0

3x2 + x -2 =0

1

22

3

1

- 1 3

21-

31

22-

3（3）

【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想2根和、2根积与系数之间的关系.

三、引导学生独立证明：

x1和x2

是一元二次方程 ax2 +bx +c =0 (a≠0 , b2 –4ac≥0) bc x1+x2 = - , x1x2 = 注意：负号不能漏写

aa【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式 x1+x2

和x1x2

得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀.

四、应用

第一组习题：不解方程，求下列方程的2根和与2根积

（1）

x2 – 3x +1 =0 （2）

3x2 – 2x - 2=0 （3）

2x2 –3x =0 （4）

3x2

=1

板书例题：例1：已知：x1和x2

是一元二次方程

2x2 =3x -1

的2根，

求x1+x2

与 x1x2 的值

第二组习题：不解方程，求下列方程的2根和与2根积

（1）

x2 +5x +6 =0 （2）

2x2 – x -1 =0 （3）

x2 – x -1 =0 （4）

2x2 = x + 2

（5）

4x2 = 5x

（6）

2x2 – 1 =0

【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第

一组习题小评时，可引导学生发现应用根系关系解决2根和与2根积的问题不需求出复杂的2根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2巩固知识奠定基础.

例2：已知：

x1和x2

是一元二次方程x2 -4x +1=0的2根, 求下列代数式的值

11（1） +

x1x2（2）x12 + x22

（3）（x1

- x2）2

x2x1学生练习：（1） + x1x2 （2）（x1+1）（x2+1）

【设计意图】

本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 .

例3：已知关于x的一元二次方程x2 -（m+1）x +2m-1=0, 当m为何值时，此方程的2根互为相反数；

当m为何值时，此方程的2根互为倒数

例4：求作一个方程，使方程2根分别为1 和

-2

例5：已知x1和x2

是一元二次方程的2根

，

且x1+x2 = 1 , x1x2 = -2 ，求2根

【设计意图】例3到例5是本课的提高，依课时完成情况而定.

五、本课小结：

六、课后作业：

七、课后感悟：