平面直角坐标系中的位似第二课时教学实录

4.8

图形的位似

第1课时

位似多边形及其性质

1.了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别；（重点）

2.掌握位似图形的性质，会画位似图形；（重点）

3.会利用位似将一个图形放大或缩小.（难点）

一、情景导入

生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察下图，图中有相似的多边形吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？

二、合作探究

探究点一：位似多边形

如图所示，指出下列各图中两个图形是否是位似图形？若是，请指出位似中心.

解：（1）（2）（4）三图中的两图形都是位似图形，位似中心分别为A，P，P.

方法总结：解决此类题的关键是首先要判断两个图形是不是相似图形，然后再找出对应点，作出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一个点.若两个图形是相似图形，且所作的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形，据此可判断（1）（2）（4）是位似图形，（3）不是位似图形. 探究点二：位似多边形的性质

如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝3，B′O＝6. （1）若AC＝5，求A′C′的长；

（2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.

解：（1）因为△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为OB：OB′＝3：6＝1：2，

AC151所以A′C′＝2，即A′C′＝2，所以A′C′＝10；

S△ABCAC1（2）根据题意，得＝（A′C′）2＝4，

S△A′B′C′7S△A′B′C′1＝4，所以S△A′B′C′＝7×4＝28. 即

方法总结：位似多边形是一种特殊的相似图形，图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，可利用相似三角形的性质解决有关问题. 探究点三：位似多边形的画法

（1）如图甲，在位似中心点O的异侧，作出已知四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为2：3；

（2）如图乙，已知五边形ABCDE，在位似中心点O的同侧作五边形ABCDE的位似图形A′B′C′D′E′，使五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为1：3；

（3）如图丙，已知六边形ABCDEF，位似中心点O在AB边上，在点O的另一侧作位似图形A′B′C′D′E′F′，使六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比为1：2.

解：（1）画法如下：

①分别连接OA，OB，OC，OD并反向延长；

OA′②分别在AO，BO，CO，DO的延长线上截取OA′，OB′，OC′，OD′，使OAOB′OC′OD′2＝OB＝OC＝OD＝3；

③顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.

四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形；

（2）画法如下：

①分别连接OA，OB，OC，OD，OE；

②分别在AO，BO，CO，DO，OE上截取OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，OA′OB′OC′OD′OE′1使OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝3；

③顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′.

五边形A′B′C′D′E′就是所求作的五边形；

（3）画法如下：

①分别连接AO，BO，CO，DO，EO，FO并延长；

②分别在AO，BO，CO，DO，EO，FO的延长线上截取OA′，OB′，OC′，OA′OB′OC′OD′OE′OF′1OD′，OE′，OF′，使OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝2；

③顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，F′A′.

六边形A′B′C′D′E′F′就是所求作的六边形.

方法总结：（1）画位似图形时，要注意相似比，即分清楚是已知原图与新图的相似比，还是新图与原图的相似比.（2）画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点.画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧；二是每对对应点都在位似中心的两侧.（3）若没有指定位似中心的位置，则画图时位似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心时，画图最简便. 三、板书设计

多

样的两个多边形叫做位似多边形①两个图形相似边形②对应点的连线相交于一点，对应边互

及性质

相平行或在同一条直线上③任意一对对应点到位似中心的距离其性

之比等于相似比质作位似图形：关键是确定位似中心、相似比和

找关键点的对应点位

对应顶点P，P′所在的直线都经过同一OP（k≠0），那么这似

点O，且有OP′＝k·

位似是相似图形的延伸和深化.经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣.位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的联系.

定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组