正方形的判定教学实录及点评

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正方形的性质与判定

第1课时

正方形的性质

一、基本目标

1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．

2．经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．

二、重难点目标

【教学重点】

探索正方形的性质定理．

【教学难点】

掌握正方形的性质的应用方法．

环节1

自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P20～P21的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

正方形的性质：

(1)边：四条边都相等且对边平行. (2)角：四个角都是直角. (3)对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角. (4)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，正方形有四条对称轴．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)先用观察法，结合图形直观地猜测出BE与DF之间的关

系，再利用已知条件，对猜测进行证明．

【解答】BE＝DF且BE⊥DF. 理由：如题图，延长BE交DF于点M. ∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCE＝90°，

∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，

∴∠BCE＝∠DCF. 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF，

∴BE＝DF，∠CBF＝∠CDF. ∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°，

∴∠CBE＋∠F＝90°，

∴∠BMF＝90°，∴BE⊥DF. 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．正方形面积为36，则对角线的长为(

B

) A．6 C．9 B．62 D．92 2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(

C

)

A．14

C．16

B．15 D．17 3．如图，延长正方形ABCD的边BC至点E，使CE＝AC，连结AE交CD于点F，则∠AFC＝112.5°.

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例2】如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是3和5，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，求MF的长．

【互动探索】结合已知条件，需作出辅助线，即连结DM并延长交EF于点N，再得到哪两个三角形全等，就可以解决问题？

【解答】连结DM并延长交EF于点N，如图．

∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，

∴AD∥BG，EF∥BG，∴EF∥AD，

∴∠NEM＝∠DAM. 在△ADM和△ENM中，

∠NEM＝∠DAM，ME＝AM，∠NME＝∠AMD，

∴△ADM≌△ENM，

∴AD＝NE＝3，DM＝MN. ∵EF＝5，∴FN＝2. ∵DF＝FC－CD＝2，∴FN＝FD，

1∴FM是等腰直角△DFN的底边上的中线，所以FM＝DN＝2. 2【互动总结】(学生总结，老师点评)正确作出辅助线，结合正方形的性质，构造出全等三角形是解决本题的关键．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 正方形的性质

边：正方形的四条边都相等且对边平行角：正方形的四个角都是直角

对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，其对角线交点为对称中心

请完成本课时对应训练！

第2课时

正方形的判定

一、基本目标

1．掌握正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算．

2．经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握正方形的判定条件．

【教学难点】

合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算．

环节1

自学提纲、生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．

2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(

C

) A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD

B．AD∥BC，∠A＝∠C

C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．

【互动探索】(引发学生思考)由BF∥CE，CF∥BE，可直接得出四边形BECF是哪种特

殊四边形？再结合矩形ABCD的性质，又能得出四边形BECF是哪种特殊四边形？

【证明】∵BF∥CE，CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，

1∴∠EBC＝∠ABC＝45°，

21∠ECB＝∠DCB＝45°，

2∴∠EBC＝∠ECB，

∴EB＝EC，∴平行四边形BECF是菱形．

在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，

∴∠BEC＝90°，∴菱形BECF是正方形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．

证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF，∴四边形BEDF是正方形．

2．如图，点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．

证明：连结BD.∵点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、DA的中点，∴EF是△BCD11的中位线，GH是△ABD的中位线．∴EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD.∴EF∥22

GH，且EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例2】如图，已知E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连结AE、CE. (1)求证：AE＝CE；

(2)若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．

【互动探索】(1)结合已知条件和图形，要证AE＝CE，只需证明哪两个三角形全等？(2)由折叠的性质得出哪些结论？

【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°，

在△ABE和△CBE中，

AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE(SAS)，

∴AE＝CE. (2)点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形．理由：

由折叠的性质，得∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE. ∵∠BAD＝90°，AB＝AD，E是BD的中点，

1∴AE＝BD＝BE，∠AEB＝90°，

2∴AE＝BE＝AF＝BF，

∴四边形AFBE是菱形．

又∵∠AEB＝90°，

∴四边形AFBE是正方形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)图形翻折前后，对应边相等，对应角相等，结合特殊平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质求解此类题型．

环节3

课堂小结，当堂达标

请完成本课时对应训练！