一元二次方程的概念全国优秀课堂实录

2．1 认识一元二次方程

第1课时

一元二次方程

灵璧县渔沟中学 宋文娟

教学目标：

1、.理解一元二次方程的概念. 2、根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3、理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 教学重点：

理解一元二次方程的概念.

教学难点：

理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.

教学过程：

一、复习导入

复习方程及一元一次方程，引入一元二次方程。

二、讲授新课

问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？

问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？

问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？

观察思考：

方程①、

②、

③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0；③ x2 + 12 x - 15 = 0. 学生总结方程特点：1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．

从而得出一元二次方程的概念和一般式ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？

三、合作探究

【类型一】

判定一元二次方程

例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）

12 222A、x+ 2＝0；B、3x－5xy+y＝0; C、（x-1)(x-2)=0; D、ax+bx+c=0 x解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.

方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它2进行整理，若能整理为ax＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．

【类型二】

根据一元二次方程的概念求字母的值

例2：a为何值时，下列方程为一元二次方程？

22(1)ax－x＝2x－ax－3；

|a|＋1(2)(a－1)x＋2x－7＝0. 2解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x＋(a－1)x＋3＝0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．

22解：(1)当a≠2时，方程ax－x＝2x－ax－3为一元二次方程；

(2)因为|a|＋1＝2，所以a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．所以当a＝－1时，原方程为一元二次方程．

变式题：变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？

（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？

解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程

（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程

方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

【类型三】

一元二次方程的一般形式

例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．

2解：去括号，得3x-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.

三、当堂练习

见课件

四、总结

程，并且都可以化成ax＋bx＋c

＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式一般形式：ax＋bx＋c＝0（a，b，c为常一元二次方程

数，a≠0），其中ax，bx，c

分别称为二次项、一次项和

常数项，a，b分别称为二次

项系数和一次项系数222概念：只含有一个未知数x的整式方五、作业

小试卷

教学反思：

本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.