复习题教学内容

案例名称

反比例函数的图像与性质(1) 教学对象

九年级学生

课时

一、教材内容分析

1课时

科目

数学

高晓

者授课

反比例函数的图像与性质这节课是北师大版九年级上册第六章第二节的内容,反比例函数是初中三大函数之一，在上节课学习了反比例函数的概念后，本节课旨在要求学生会类比一次函数的图像，画出反比例函数的图像，在此基础上，通过图像的研究和分析，得到反比例函数的性质。反比例函数的图像与性质在中考中也占有一定的比例。

二、教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）

根据新课程标准的要求，结合教材的具体内容，我确立教学目标为：

1.

知识与能力：能用描点法画出反比例函数的图象；体会并了解反比例函数图象的意义，在此基础上理解反比例函数的性质；

2.

过程与方法：经历画反比例函数图象与分析图象的过程，提高学生作图能力，并在此基础上培养学生探究，归纳与概括的能力；体会数形结合及类比的数学思想。

3.

情感态度价值观：由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，并通过图象的直观教学激发学生的兴趣。

三、教学重难点

教学重点：利用描点法画反比例函数的图象，利用图像探索反比例函数的性质；

教学难点：探索反比例函数的性质并灵活应用。

四、学情分析

在八年级学生已经接触过一次函数，并利用描点法画过一次函数的图象，利用图象探索出了一次函数的性质，大多数同学对描点法画函数的图象并不陌生。本节课是继一次函数学习之后，对函数知识的一次拓广，图象由一支到两支，形态由直到曲，所以在描点连线的过程中教师应给予学生适当的引导。

五、教学策略选择与设计

本着课堂上以教师为主导、学生为主体的教学原则，本节课通过教师指导点拨，学生自主探索，学生合作探究，师生共同学习等策略，突出学生是学习的主体。在教学过程中有意识地培养学生的动手画图能力以及合作探究与自主探究能力。

教学环节

一．复习导入:

教师活动预设

思考：

1.正比例函数和一次函数的图象分别是什么？

2.请写出一个反比例函数的解析式。

3.函数图象描绘的步骤。

学生活动预设

学生回忆，举手作答

设计意图

通过复习，熟悉函数的作图方法，为本节课学习反比例函数的图象与性质做铺垫

我们在八年级曾学习了正比例和一

次函数的图象，知道它们的图象都是一条直线，那么反比例函数y=k/x

（k≠0)的图象是什么样子，这就需要我们动手去做一做，才能得出结

论.本节课就让我们一齐来实践吧.

二．画反

在学生独立思考，尝试并进行充分分比例函数析与交流的基础上，教师引导学生正确画出函数的y=4/x图象。

的图象

1.列表：列表给出自变量与函数的一

些对应值。(多媒体演示过程) 强调注意：

① x≠0

②列表时自变量取值易于计算,易于描点。

2.描点.以表中对应值为坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点. (多媒体演示过程)

3.连线.按照自变量由小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连接起来. (多媒体演示过程)

1.鼓励学生按照自己的方法尝试画出反比例函y=4/x的图象（此时可指名板演，由于学生初次遇见画非线性函数的图象，而且是由两支断开的曲线组成的图象，学生可能会出现各种各样的问题）

2.之后在教师的引导下学生纠错。（对于学生出现的问题，教师不应简单否定了事，而应鼓励学生充分表达自己的真实思考过程）

3.小组讨论交流：画反比例函数图象时会出现什么问题？

在教师引导之前先放手让学生画，目的是为了呈现问题，在做此步骤时，学生可能会出现画成直线，折线，单曲线的情形，，这时针对问题鼓励学生间相互讨论相互比较，之后在教师的引导下使学生加深印象，在描点连线的过程中教师应给予学生适当的引导。

学生小结，加深印象

多媒体呈现作图情况，学生

思考找出

病因

学生观察多媒体呈现的四位同学的画法，找出正确的画法。先自主思考，再小组交流总结画反比例函数时应该注意的问题：

1.列表时，自变量可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数，相应就得到了一个个图象上的点；

2.尽量多列一些自变量和对应的函数值，以保证图象更精确；

3.连线必须是光滑曲线；

4.图像是延伸的，注意不要画成有明确端点。

5.自变量和因变量都不能为0，曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交。

做一做

请大家用同样的方法作反比例函数y=-4/x的图象. （1）让学生自己作图。

（2）多媒体出示正确的作图过程，让学生参考。

（3）学生修改自己的解题过程。

反比例函数的图象不同于一次函数，比起一次函数，反比例函数的图象是由一支到两支，形态由直到曲。针对学生存在的问题增加这一环节是为了加深学生对错误做法的理解。

当学生学会做y=4/x的图象，函数

y=-4/x的图象便不成问题对后面性质的探究做铺垫。

观察的反比例函数图象的形状和位

置,思考下列问题：

1.反比例函数的图象是什么样的？

2.反比例函数与的图象有什么共同1.学生首先自主完数学教学的

特征？有什么不同点？是由什么决成刚才所做的两个目的之一定的？

图象；

是使学生

3.以四人一组为单位展开讨论反比

学会学习，例函数 y=k/x（k≠0)的图象在哪两

本环节以

个象限,是由什么确定的。

2.对照图象自己先问题串的4.总结反比例函数的图象和性质。

猜想图象的特征以形式，使不对照图

及异同点；

同层次的

学生都有象，研究

一定的问引导总结

3.以小组为单位讨题可答，并反比例函

论交流反比例函数让学生学1.图象名称

的图象及性质；

会寻找研数的性质

每个反比例函数的图像都是由两支

究问题的曲线组成，因此称反比例函数的图

途径，激发象为双曲线。

4.指名发表自己的学生的探

见解并相互补充；

索热情，形2.图象位置:

成新的认

知结构。

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象的5.学生回答完毕教

位置由k决定。

师小结。

当k>0时,两支双曲线分别位于一,

三象限内;

当k<0时,两支双曲线分别位于二,

四象限内;

想一想：反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心.反比例函数图象是轴对称图形吗?如果是，请指出它的对称轴.

（一）随堂练习

1.反比例函数y=-6/x的图象位于

（

）

A．第一、三象限B．第一、二象限

C．第二、三象限D．第二、四象限

教师留给时间独

2.若y=k/x的图象分别位于第二、第四立完成，之后指象限，则k的取值范围是

. 名作答，并让学

生对每道题加以

总结；

3. 已知反比例函数y=k-2/x，当k满足什么条件时，其图象的两个分支

在第一、三象限内；当k满足什么条

件时，其图象的两个分支在第一、三

四．性质象限内；

应用

（二）课后练习

已知反比例函数y=k+3/x的图象过

点A（1，4）

（1）求出k；

(2)

写出这个反比例函数的表达学生课后完成，式，并判断B（4，-1）是否在此函对本节课加以巩数的图像上；

固。

（3）根据反比例函数的性质，说出

这个反比例函数的图象在哪个象限；

（4）画出这个反比例函数的图象；

通过三道习题对反比例函数的图象和性质加以应用，这几个题目比较典型，具有代表性，第一个题目是直接运用性质解决问题，比较简单，面向全体学生。我还设计了第二个题目，这个题目是逆用性质，可以锻炼学生对性质的灵活应用。第三题体现了数学的整体思想，从而达到举一反三，学以致用的目的。

课后习题综合型比较强，能够很好地巩固本节课的知识。

教师引导学生小结

1.反比例函数图象的形状；

2.反比例函数图象的五。

位置由什么决定？如何决定？

课堂小结与作3.用描点法画反比例函数的图象时应该注业布置

意什么问题？

4.本节课用到了什么数学思想？

作业：课本P23；习题1.7：第1、2题

板书设计

学生畅所欲言

在学生们共同归纳总结本节课的过程中，让学生获得数学思考上的提高和感受成功的喜悦并进一步系统地完善本节课的知识。

反比例函数的图象和性质（1）

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象：

每个反比例函数的图像都是由两支曲线组成的，因此称反比例函数的图象为双曲线。

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象位置:

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象的位置由k决定。

当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;

板书呈现的是本节课的重点，简单明了，突出重点，体现了本节课的内在联系，使学生对本节课的知识加深印象。

案例名称

反比例函数的图像与性质(1) 教学对象

九年级学生

课时

一、教材内容分析

1课时

科目

数学

高晓

授课者

反比例函数的图像与性质这节课是北师大版九年级上册第六章第二节的内容,反比例函数是初中三大函数之一，在上节课学习了反比例函数的概念后，本节课旨在要求学生会类比一次函数的图像，画出反比例函数的图像，在此基础上，通过图像的研究和分析，得到反比例函数的性质。反比例函数的图像与性质在中考中也占有一定的比例。

二、教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）

根据新课程标准的要求，结合教材的具体内容，我确立教学目标为：

4.

知识与能力：能用描点法画出反比例函数的图象；体会并了解反比例函数图象的意义，在此基础上理解反比例函数的性质；

5.

过程与方法：经历画反比例函数图象与分析图象的过程，提高学生作图能力，并在此基础上培养学生探究，归纳与概括的能力；体会数形结合及类比的数学思想。

6.

情感态度价值观：由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，并通过图象的直观教学激发学生的兴趣。

三、教学重难点

教学重点：利用描点法画反比例函数的图象，利用图像探索反比例函数的性质；

教学难点：探索反比例函数的性质并灵活应用。

四、学情分析

在八年级学生已经接触过一次函数，并利用描点法画过一次函数的图象，利用图象探索出了一次函数的性质，大多数同学对描点法画函数的图象并不陌生。本节课是继一次函数学习之后，对函数知识的一次拓广，图象由一支到两支，形态由直到曲，所以在描点连线的过程中教师应给予学生适当的引导。

五、教学策略选择与设计

本着课堂上以教师为主导、学生为主体的教学原则，本节课通过教师指导点拨，学生自主探索，学生合作探究，师生共同学习等策略，突出学生是学习的主体。

在教学过程中有意识地培养学生的动手画图能力以及合作探究与自主探究能力。

教学环节

教师活动预设

学生活动预设

设计意图

思考：

1.正比例函数和一次函数的图象分别一．复是什么？

习导2.请写出一个反比例函数的解析式。

入:

3.函数图象描绘的步骤。

学生回忆，举手作答

二．画反比例函数的图象

我们在八年级曾学习了正比例和一次函数的图象，知道它们的图象都是一条直线，那么反比例函数y=k/x（k≠0)的图象是什么样子，这就需要我们动手去做一做，才能得出结论.本节课就让我们一齐来实践吧.

在学生独立思考，尝试并进行充分分析与交流的基础上，教师引导学生正确画出函数的y=4/x图象。

1.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。(多媒体演示过程) 强调注意： ① x≠0

②列表时自变量取值易于计算,易于描点。

2.描点.以表中对应值为坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点. (多媒体演示过程)

3.连线.按照自变量由小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连接起来. (多媒体演示过程)

1.鼓励学生按照自己的方法尝试画出反比例函y=4/x的图象（此时可指名板演，由于学生初次遇见画非线性函数的图象，而且是由两支断开的曲线组成的图象，学生可能会出现各种各样的问题）

2.之后在教师的引导下学生纠错。（对于学生出现的问题，教师不应简单否定了事，而应鼓励学生充分表达自己的真实思考过程）

3.小组讨论交流：画反比例函数图象时会出现什么问题？（学生小结，加深印象）

通过复习，熟悉函数的作图方法，为本节课学习反比例函数的图象与性质做铺垫

在教师引导之前先放手让学生画，目的是为了呈现问题，在做此步骤时，学生可能会出现画成直线，折线，单曲线的情形，这时针对问题鼓励学生间相互讨论相互比较，之后在教师的引导下使学生加深印象，在描点连线的过程中教师应给予学生适当的引导。

多媒体呈现作

图情况，学生思考找出病因

学生观察多媒体呈现的四位同学的画法，找出正确的画法。先自主思考，再小组交流总结画反比例函数时应该注意的问题：

1.列表时，自变量可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数，相应就得到了一个个图象上的点；

2.尽量多列一些自变量和对应的函数值，以保证图象更精确；

3.连线必须是光滑曲线；

4.图像是延伸的，注意不要画成有明确端点。

5.自变量和因变量都不能为0，曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交。

做一做

请大家用同样的方法作反比例函数y=-4/x的图象. （1）让学生自己作图。

（2）多媒体出示正确的作图过程，让学生参考。

（3）学生修改自己的解题过程。

比例函数的图象不同于一次函数，比起一次函数，反比例函数的图象是由一支到两支，形态由直到曲。针对学生存在的问题增加这一环节是为了加深学生对错误做法的理解。

当学生学会做y=4/x的图象，函数

y=-4/x的图象便不成问题对后面性质的探究做铺垫。

对照图象，研究反比例函数的性质

观察的反比例函数图象的形状和位置,思考下列问题：

1.反比例函数的图象是什么样的？

2.反比例函数与的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？

3.以四人一组为单位展开讨论反比例函数 y=k/x（k≠0)的图象在哪两个象限,是由什么确定的。

4.总结反比例函数的图象和性质。

引导总结

1.图象名称

每个反比例函数的图像都是由两支曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线。

2.图象位置:

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象的位置由k决定。

当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;

想一想：反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心.反比例函数图象是轴对称图形吗?如果是，请指出它的对称轴.

1.学生首先自主完成刚才所做的两个图象；

2.对照图象自己先猜想图象的特征以及异同点；

3.以小组为单位讨论交流反比例函数的图象及性质；

4.指名发表自己的见解并相互补充；

5.学生回答完毕教师小结。

数学教学的目的之一是使学生学会学习，本环节以问题串的形式，使不同层次的学生都有一定的问题可答，并让学生学会寻找研究问题的途径，激发学生的探索热情，形成新的认知结构。

（一）随堂练习

1.反比例函数y=-6/x的图象位于

（

）

A．第一、三象限B．第一、二象限

C．第二、三象限D．第二、四象限

教师留给时间独立

2.若y=k/x的图象分别位于第二、第四象完成，之后指名作限，则k的取值范围是

. 答，并让学生对每

道题加以总结；

3. 已知反比例函数y=k-2/x，当k满

足什么条件时，其图象的两个分支在

第一、三象限内；当k满足什么条件

时，其图象的两个分支在第一、三象

四．性限内；

质应

用

（二）课后练习

已知反比例函数y=k+3/x的图象过点

A（1，4）

（1）求出k；

学生课后完成，对(2)

写出这个反比例函数的表达式，本节课加以巩固。

并判断B（4，-1）是否在此函数的图

像上；

（3）根据反比例函数的性质，说出这

个反比例函数的图象在哪个象限；

（4）画出这个反比例函数的图象；

通过三道习题对反比例函数的图象和性质加以应用，这几个题目比较典型，具有代表性，第一个题目是直接运用性质解决问题，比较简单，面向全体学生。我还设计了第二个题目，这个题目是逆用性质，可以锻炼学生对性质的灵活应用。第三题体现了数学的整体思想，从而达到举一反三，学以致用的目的。

课后习题

综合型比较强，能够很好地巩固本节课的知识。

教师引导学生小结

1.反比例函数图象的形状；

2.反比例函数图象的五。

位置由什么决定？如何决定？

课堂小结与作3.用描点法画反比例函数的图象时应该注业布置

意什么问题？

4.本节课用到了什么数学思想？

学生畅所欲言

在学生们共同归纳总结本节课的过程中，让学生获得数学思考上的提高和感受成功的喜悦并进一步系统地完善本节课的知识。

作业：课本P23；习题1.7：第1、2题

板书设计

反比例函数的图象和性质（1）

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象：

每个反比例函数的图像都是由两支曲线组成的，因此称反比例函数的图象为双曲线。

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象位置:

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象的位置由k决定。

当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;

板书呈现的是本节课的重点，简单明了，突出重点，体现了本节课的内在联系，使学生对本节课的知识加深印象。