14.5 等腰三角形的性质国家获奖教案

§14.5等腰三角形的性质

教学目标：

1、

通过观察、操作、说理等活动，发现并归纳等腰三角形两个底角相等的性质，培养数学语言归纳能力；

2、

经历用逻辑推理方法推导等腰三角形两个底角相等的性质的过程，体会实验归纳和逻辑推理这两种研究方法的联系与区别；

3、

掌握等腰三角形两个底角相等及“三线合一”的性质，能运用等腰三角形的性质解决有关的简单问题，发展基础性的逻辑推理能力. 教学重点：等腰三角形的性质的探究及应用.

教学难点：等腰三角形“三线合一”性质的应用.

教学过程：

教师活动

一、

等腰三角形的相关概念

1、引入：

问1：回顾三角形按边分类可以如何分？

这节课我们将主要研究等腰三角形的性质. 出示课题：§14.5等腰三角形的性质

2、等腰三角形的相关概念

问2：什么是等腰三角形？

说明：如图ABC是等腰三角形，AB=AC，这时，边AB和AC是它的腰，BC是底边，A是它的顶角，B和C是底角.

答1：

学生活动

设计意图

由已学的三角形的分类引出课题，体

现从一般到特

①

不等边三角形

殊的研究问题三角形

③

的方法.

②

等腰三角形

等边三

角形

注：①

三边不相等

②

两条边相等

③

三边都相等

答2：有两边相等的三角形叫做等

腰三角形.

A

顶角

腰腰

底角底角

CB底边

提出问题

二、等腰三角形性质

引导学生对等问1：观察你手中的等腰三角形，（要

腰三角形两个求学生每人准备一个等腰三角形），它

底角的大小关的六个元素中除了两边相等，还有哪些答1：等腰三角形的两个底角相等. 系进行探究.

相等的元素？

实验研究

1

问2：你能否利用手中的等腰三角形，通过操作说明两个底角相等呢？

说明：若学生不能想到等腰三角形的对称性，教师可作如下引导：

等腰三角形是一种美观的图形，常用于绘画建筑等方面，它的美主要是对称美，你能说说是指那一种对称吗？

问3：说说等腰三角形的对称轴是什么？

问4：请按顶角的平分线所在的直线翻折，看其左右两边的图形是否完全重合？

问5：通过实验操作说说等腰三角形底角相等的理由. 教师多媒体演示：

画三角形角平分线；沿顶角平分线翻折

预设答2：等腰三角形是轴对称图形，沿对称轴翻折后，对称轴两边的部分互相重合.

预设答3：

（1）顶角的平分线所在的直线；（2）底边上的中线所在的直线；（3）底边上的高所在的直线.

学生动手操作；

答4：是的.

预设答5：（学生回答不完整，教师补充）

（1）将ABC沿直线AD翻折，因为BADCAD，所以将AABC沿直线AD翻折后，射线AB与射线AC叠合. A（2）由于AB=AC，因此线段AB与线段AC重合，于是点B与点C重合，又因为点D与点D重合所以线段BD与线段CD也重合，因BDC(B)BC此BC.

小结：

通过操作我们发现：

（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角

平分线所在的直线是它的对称轴；

（2）等腰三角形的两个底角相等.

问6：如果不进行操作，你能否用几何

说理来说明等腰三角形的两个底角相

等呢？

答6：学生口述：

问题：已知ABC是等腰三角形，且解：过点A作BAC的平分线AD，AD与BC相交于点D. AB=AC，说明：BC. A，

AD平分BAC（已知）A1212（角的平分线的意义）. 在ABD和ACD中，

BCBDC

ABAC(已知)，12(已证)，

ADAD(公共边).ABD≌ACD(S.A.S)

2 方法是学生现阶段几何研究的主要方法，将实验操作作为探究问题的起点，学生较易接受.

利用等腰三角形的对称性，通过猜测对称轴、翻折、利用叠合法说明的过程中，确定“顶角平分线所在的直线是它的对称轴”，“对称轴两边的图形重合，即全等”的事实.

此处操作说明时的语言很重要，教学中教师应引导学生用规范的语言叙述.

逻辑推理时所添加的辅助线，是由“操作”引出来的.

此处还可以用等腰三角形底边上的中线为辅助线，推理得出等腰三角形的性质，有学生提出给予肯定.

问7：请归纳上面我们所得到的结论？如何用符号语言表示？

小结：等腰三角形这一性质应用的前提是：在同一个三角形中.

问8：由上面的说理过程中还可以得到哪些结论？

ADBADC说明AD与BC问9：有怎样的位置关系？

问10：通过上述的说理，你还能得到哪些结论？

小结：等腰三角形的性质：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）. 问11：如何将这个性质用符号语言表示呢？

1AD为顶角的角如图，如何表示○2AD是底边上的中线？○3平分线？○AD为底边上的高？

BC（全等三角形的对应角相等）. 答7：（师生共同完成）

等腰三角形的一个性质：

等腰三角形的两个底角相等（简称：“等边对等角”）. 在ABC中，

ABAC（已知），

BC（等边对等角）.

答8：

ABD≌ACD(S.A.S)

ADBADC（全等三角形的对应角相等）.

BD=CD（全等三角形的对应边相等）. 答9：

ADBADC，

且ADBADC180，

ADBADC90，

ADBC. 答10：AD不仅是顶角的角平分线，还是底边的中线和底边上的高.

答11：

A1∠1 =∠2；

○122BD=CD；

○3ADBC.

○

BDC

说明：“等腰三角形的三线合一”这一

1、2、3中已知其中性质指的是以上○○○

任意一个就可以得出其余两个.

问12：请用符号语言表是：

1得○2、○3

由○

3

将所得性质用符号语言表述，提高符号语言、文字语言、图形语言的转化能力.

将所得性质用符号语言表述，提高符号语言、文字语言、图形语言的转化能力.

等腰三角形的三线合一性质的符号表示的第一种以

2得○1、○3

由○

1得○2、○3

由○

补充：有了这个性质，还可以进一步得到：等腰三角形的对称轴还可认为是底边上的高所在的直线，或底边上的中线所在的直线.（大家前面的猜测是正确的.）

三、等腰三角形性质的应用

我们通过探究得到了等腰三角形的三个重要性质，它们如何应用呢？

试一试：

（1）如图，已知AB=AC，B70，求C和A的度数. A

问1：题中有哪些条件？求什么?

问2：如何求？依据是什么？

教师根据学生回答板书：

解：（1）∵

ABAC（已知），

∴BC（等边对等角），

∵B70（已知），

∴C70（等量代换）. （2）∵BC70，

又ABC180（三角形内角和等于180），

∴A40. 小结：在等腰三角形中若已知一个内角，即可求出其它内角的大小. （2）已知ABC是等腰三角形，且有一个内角为70，那么其它两个内角的度数为_________________. BC答12：（师生共同完成）

（1）已知等腰三角形的顶角平分线：

在三角形ABC中，AB=AC , ∵

AD是角平分线

（已知）,

∴

ADBC，BD= CD（等腰三角形的三线合一）. （2）已知等腰三角形底边上的中线：

在三角形ABC中，AB=AC, ∵AD是中线（已知）

∴

AD⊥BC

，

∠1 =∠2（等腰三角形的三线合一）

（3）已知等腰三角形底边上的高：

在三角形ABC中，AB=AC, ∵AD是高（已知）

∴

BD=CD，

∠1 =∠2（等腰三角形的三线合一）

答1：题中已知等腰三角形的底角，求其另一底角和顶角的度数. 答2：由等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和性质求解.

4 教师示范为主，后面两种以填空的形式让学生练习.

变式是“等边对等角”性质的应

问：如何思考？

小结：分类讨论的数学思想

（3）如图，已知AB=AC，BAC110，AD是ABC的中线，则1=_______，2=________；

A12BDC预设生答：

由于未告知已知角是顶角还是底角，所以要分两种情况讨论：

（1）当已知角为顶角，则另两角为55和55；

（2）当已知角为底角，则另两角为70和40. 答：55和55或70和40.

生答：

预设1，利用已知条件说明ABD和ACD全等，从而得出所求结论. 预设2，

本题已知等腰三角形顶角，及底边上的中线，可考虑用“等腰三角形三线合一”的性质求解. ∵

ABAC（已知），

又∵AD是ABC的中线（已知）

∴12

问：如何思考？

小结：若已知等腰三角形及顶角平分线、底边中线、底边上的高三线之一，可考虑用“等腰三角形三线合一”的性质来说明，而不用三角形的全等，以简化说理过程.

课堂练习：P107，2、3.

补充例题：如图，已知AB=AC，AD是BC边上的高，且1BAC（等2DEAB,DFAC，垂足分别是E、F，试说明BE=CF. 腰三角形三线合一），

∵BAC110（已知），

∴1255（等式性质）.

5 用，同时渗透分类讨论的思想.

（3）为课本例题2，是“等腰三角形三线合一”这一性质的简单应用，此处改为填空题，有学生习惯用三角形的全等说明问题，应引导学生学会使用简捷方法解决问题.

补充例题可用三角形的全等来说明，但比较繁琐，引导学生灵活运用等腰三角形的性质解题，优化解题

过程. 此题还可答：可先说明BDECDF；

同过说明答：由DEAB,DFAC，可AED和EF12AFD全等，得12；

BCD由于AB=AC，由“等边对成角”说明AE=AF，

问：如何说明BE=CF？

从而得到可得：BC；

又因为AD是高，由“等腰三角形BE=CF. 问：如何说明BDECDF？

教师根据学生回答板书：

三线合一”的性质可得：BD=CD.

解：∵AB=AC，

所以，BDE≌CDF（A.A.S）

∴BC（等边对等角），

∵AD是BC边上的高（已知），

∴BD=CD

（等腰三角形三线合一），

∵DEAB,DFAC（已知），

∴1290（垂直的意义），

在BDE和CDF中：

12,

BC,

BDCD,

∴BDE≌CDF（A.A.S）.

∴BE=CF（全等三角形的对应边相

等）.

补充练习:

如图，四边形ABCD的对角线AC与

BD相交于点O，AB=AD，且ACBD，

试说明12.

B

1

ACO

2

D

四、课堂练习

A组：

答案：

巩固“等腰三角1.

（1）将“等腰三角形的顶角平分1（1）BD=DC,AD⊥BC. 形的三线合一”线平分并且垂直于底边”.在△ABC（2）BD=DC, AD⊥BC, 性质.并熟练中，如果AB=AC，∠1=∠2，那么∠1=∠2. 掌握其几何符A

6

号语言的表达. （2）“等腰三角形底边上的中线垂∠1=∠2.

直于底边，并且平分顶角”，在△ABC

中，如果AB=AC，____，那么_____，

且_____.

（3）“等腰三角形底边上的高平分

底边和顶角”.在△ABC中，如果AB=AC，

____，那么_____，且_____.

A

12

CB

D

理由：

“等边对等2.

如图，已知AB=AC，AD=AE，说明

∵AB=AC(已知)，

角”和“三角DE∥BC的理由. 形内角和等于∴∠B=∠C(等边对等角). 180°”及平行A又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形线判定的综合内角和等于180°），

运用.利用所12ED∴∠A+2∠B=180°(等量代换). 学知识进行简1单说理，发展得∠B=（180°-∠A）（等式性基础性的逻辑2CB推理能力. 质）.

1

同理得

∠1=（180°-∠A）.

2

∴∠1=∠B.

∴DE∥BC（同位角相等，两直线

平行）.

B组：

小明练习册上的一个等腰三角形被墨方法一：画出∠A，使∠A=∠B，此题作法一，迹污染了，只有它的底边AB和∠B还∠A和∠B另一边的交点C就是等为下节等腰三保留着，请你画出练习册上原来的等腰腰三角形的顶角的顶点. 角形判定作铺三角形形状. 垫. ______=______，且_____. （3）AD⊥BC，BD=DC, CAB作法二，利用到等腰三角形的对称性.

7

方法二：画出线段AB的垂直平分线，与∠B的另一边的交点C就是等腰三角形的顶角的顶点. AB

C

五、课堂小结

今天你主要学习了什么，有什么收获？

六、布置作业

练习册，习题14.5

课后作业

试

题

A组：

1.填空：

（1）如果等腰三角形的一个底角为

34°，那么另外两个角的度数分别为_____、______.

（2）如果等腰三角形的底边和一腰长分别为12cn、15cm，那么这个三角形的周长为_______cm..

（3）如果等腰三角形的两边长分别为12cm、8cm，那么这个三角形的周长为______cm.(练习册p54/1)

AB

预设生答：

等腰三角形的三条性质及其应用. 解

答

答案：

(1)34°，112°.

(2)42cm.

(3) 42cm或28cm.(注意等腰三角形的两边长分别为12cm、8cm，没说哪一个是腰,哪一个是底,因此要分类讨论,两种情况) .

设计意图

等腰三角形意义及两底角相等的运用，注意（3）题的分类讨论思想，以及利用三角形三边关系定理确定三角形是否存在.注意双解题目学生易漏解出错.

“等边对等角”和三角形内角和及外角性质2.如图，已知点D在BC上，AB=AC=BD，AD=DC.

（1）图中等腰三角形共有____个.

（2）∠BDA是∠C的几倍？

（3）∠BAD是∠C的几倍？

（4）求∠C的度数. (练习册p55/2)

答案：

（1）

三个. （2）在△ADC中，

因为AD=DC（已知）, 所以∠C

=∠DAC （等边对等角

）.

因为∠BDA=∠DAC+∠C（

三角形的8

一个外角等于和它不相邻的两个内角A的和）.

因为∠BDA= 2

∠C.

（3）在△ABD中，

BC因为

AB=BD（已知）, D

所以

∠BAD = ∠BDA

（等边对等解：（2）在△ADC中，

角

）.

因为AD=DC（已知）, 所以∠BAD= 2

∠C.

所以_____=_____（

）.

（4）在△ABC中，

因为∠BDA=∠DAC+______（

）, 因为AB=AC（已知）, 所以∠BDA=_____∠C.

所以

∠B = ∠C

（等边对等角

）.

（3）在△ABD中，

又因为∠B+∠BDA+∠BAD= 180°因为AB=BD（已知）, （三角形内角和等于180°），

所以______=______（

）.

所以

5 ∠C= 180°. 所以∠BAD=______∠C.

所以∠C= 36°.

（4）在△ABC中，

因为AB=AC（已知）, 所以______=______（

）.

又因为∠B+∠BDA∠BAD=____°（

）, 所以______∠C=______°.

所以∠C=______°.

3.如图，已知AB=AC，BD=CD，

∠B=30°，求∠BAD的度数. (练习册p55/3) 解：在△ABC中，AB=AC（已知），

因为BD=CD（已知），

所以AD⊥BC（

等腰三角形的三线合一）

.

得∠ADB=90°（垂直的意义）.

又因为

∠B+∠BDA+∠BAD = 180°（三角形内角和等于180°），

所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B.

因为∠B=30°（已知）, 所以∠BAD=

60°.

的综合运用.强调“等边对等角”的应用方法.通过填空和说理，发展学生基础性的逻辑推理能力.

AB30°CD

解：在△ABC中，AB=AC（已知），

因为BD=CD（已知），

所以AD⊥BC（

）

.

得∠ADB=90°（

）.

又因为_____________=180°

（

）

所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B.

因为∠B=30°（已知）, 所以∠BAD=_______.

B组：

1.如图，已知AD∥BC，BD=CD,

∠A=120°，∠ABD=30°. (1) 求∠DBC的度数. （2）求∠BDC的度数. (练习册p55/4)

“等腰三角形的三线合一”

和“三角形内角和等于180°”综合运用，特别强调“等腰三角形的三线合一”的运用.通过填空及说理学会写说理过程.

“等边对等角”和“三角形内角和等于180°”解：（1）∵AD∥BC(已知)，

∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角相等）. ∵∠A=120°（已知），

9

AB12DC

∴∠ABC=60°（等式性质）. ∵∠1=30°（已知），

∴∠2=∠ABC -∠1 =60°-30°= 30°（等式性质）. （2）∵BD=CD（已知）, ∴∠2=∠C（等边对等角

）. ∵∠2= 30°（已知）, ∴∠C= 30°（等量代换）. ∵∠2+∠BDC+∠C = 180°（三角形内角和等于180°），

∴∠BDC=180°- 30°- 30°

=120°（等式性质）. 及平行线性质的综合运用. 特别强调“等边对等角”的运用.利用所学知识进行简单说理，发展基础性的逻辑推理能力.

（1）（2）进行试验操作，猜想结论.再通过（3）进行说理此结论正确.注意又特殊到一般的研究问题的方法. （3）中“等边对等角”和“三角形内角和等于180°”的运用.利用所学知识进行简单说理，训练学生逻辑推理能力.

2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD为边AC上的高，试探究∠CBD与

∠A之间有什么数量关系？(练习册p56/5)

A

解：（1）∠CBD=25°,

∠A=50°.

（2）根据所画图形测量.

（3）∠CBD =1∠A. 2DB1C理由：

方法一：

∵BD为边AC上的高（已知），

∴∠BDC=90°（三角形高的意义）. ∵∠1+∠BDC+∠C = 180°（三角形内角和等于180°），

∴∠1=90°-∠C（等式性质）. ∵AB=AC（已知），

∴∠ABC=∠C（等边对等角

）. ∵∠A+∠ABC+∠C = 180°（三角形内角和等于180°），

∴∠A+2∠C = 180°（等量代换）. ∴∠C = 90°-∴∠1=

（1）

用量角器量出∠CBD和∠A的大小. （2）

再画两个形状、大小不同的等腰三角形ABC，其中AB=AC，BD为边AC上的高，用量角器分别量出∠CBD和∠A的大小. （3）

根据上面三组数据，猜想∠CBD与∠A之间的数量关系，并对猜想结果进行说明.

1∠A（等式性质）. 21∠A（等量代换）. 2方法二：

10

A2DB1EC

过点A作AE⊥BC,垂足为E，

∵AB=AC(已知)，

∴∠2=1∠BAC（等腰三角形的三线合2一）. ∠AEC=90°（垂直的意义）

∵∠2+∠AEC+∠C = 180°（三角形内角和等于180°），

∴∠2=90°-∠C（等式性质）. ∵BD为边AC上的高（已知），

∴∠BDC=90°（三角形高的意义）. ∵∠1+∠BDC+∠C = 180°（三角形内角和等于180°），

∴∠1=90°-∠C（等式性质）. ∴∠1=∠2（等量代换）.

∴∠2=

1∠BAC（等量代换）. 2

11