7.1 正切优质公开课教案

7.1 正切（1）

仪征市实验中学东区校

王小琪

教学目标：

1．认识锐角的正切的概念；

2．经历操作、观察、思考、证明等过程，感受数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；

3．激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．

教学重点：会计算一个锐角的正切值.

教学难点：探索直角三角形中边角之间的关系.

教学过程

一、情境创设

问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡．如图，哪个台阶更陡？

结论：把生活中的问题抽象成数学问题.

陡的程度  倾斜角（板书，注：用推导符号得出，可以互相描述刻画）

【设计意图】初步感受倾斜的角度越大，台阶就越陡.

问题2：如图，哪个图的台阶最陡？你是如何判断的？

老师：竖直高度和水平宽度，仅仅只有一个能不能决定陡的程度？

只有当一个量相等时，比较另一个量才能得出陡的程度，也就是倾斜角的大小.

【设计意图】由角度逐步转化为边之间的比较，来实现向新知识的自然过渡.

二、探索活动

问题3：如图，①、③两个台阶，你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？

九下7.1正切（1）

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生：两个台阶的竖直高度不相等，水平宽度也不相等，只有量度数进行比较，学生测量；

生：测量有误差，当度数比较接近的时候不准确；

老师：看来，从角的角度考虑不一定准确，可以转化为问题2的类型吗？

…………

老师：借助相似，转为竖直高度相等，或水平宽度相等，进行比较. 结论1：仅有一个竖直高度或水平宽度，不能决定倾斜角的大小.

老师：竖直高度和水平宽度是如何决定倾斜角的大小呢？

观察这4条线段，它们存在怎样的数量关系？

如果竖直高度与水平宽度的比值相等，那么倾斜角相等. 结论2：当竖直高度与水平宽度的比值确定时，倾斜角大小随之确定；

竖直高度倾斜角（板书）

水平宽度【设计意图】研究竖直高度和水平宽度如何决定角的大小，从特殊的数字到一般的规律，从猜想到验证再到严密的证明，帮助学生掌握研究问题的方法。

问题4：如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……

那么，你有什么发现呢？ B3B2B1AC1C2C3

可以得到Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3……

根据相似三角形的性质，得

……

结论3：如果倾斜角的大小确定，那么竖直高度与水平宽度比值也确定.

倾斜角竖直高度（板书）

水平宽度2 九下7.1正切（1）

老师：竖直高度与水平宽度的比值，和倾斜角建立了对应关系.用这个比值刻画倾斜角的大小.

形成概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA=老师：还可以表示出哪个角的正切？

A的对边BCa==.

A的邻边ACb三、例题教学

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，求tanA．

知道了什么？需要求什么？如何去求？

还可以得到什么？

根据定义，tanAtanBACBaa1，所以，互余两个角的正切值互为倒数．

bb如果AC和AB扩大为原来的10倍，tanA的值如何变化？

【设计意图】概念的简单运用，调动学生深入思考，发现互余角的正切性质．变式1～3，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行简单的说理．

C例2：如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AB=2．求tanA．

本题知道了什么？需要求什么？如何求？

ADB【设计意图】例1是概念的简单应用，求普通锐角的正切，且有线段的长度，而例2是特殊角的本题还可以求出哪些角的正切呢？

正切，且没有线段的长度，学生需要具有设参数的意识．变式2，让学生自行设计45°角的正切，借助特殊三角形，发现对边与邻边之间的比值．

【数学小游戏】同桌共用一副三角板，一名学生任意选择其中一个锐角，另一名学生指出它的正切是哪两条边的比，并说出正切值，然后两人互换。老师三角板中的30°角的正切值和你们的一样吗？一般三角形中的30°角的正切值呢？

四、小结思考

1.本节课有哪些收获？

2.你还想知道哪些？

（1）对边与邻边的比值随着角的大小变化而变化，与所学的什么知识类似？

（2）对边与邻边的比值随着角的大小变化而如何变化呢？

（3）是否还有其他类似的比值，也有类似的性质呢？

九下7.1正切（1）

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五、课后作业

1.课本P99习题7.1第1、2题；

2.

思考题（选做）：你能判断两个楼梯哪一个更陡吗？

六、板书设计

九下7.1正切（1）3 5 ①

②

5 7 7.1正切（1）

生活中的问题

数学问题

例题1 陡的程度  倾斜角

竖直高度水平宽度

例题2 互余两个角的正切值互为倒数

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