7.1 正切教学设计第一课时

7.1 正切（1）

一、

教材及学情分析：

学生在学习了二次函数、相似图形，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出正切的概念，经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学目标：

1．认识锐角的正切的概念；

2．经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；

3．激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识．

三、教学重点：

计算一个锐角的正切值的方法．

教学难点：计算一个锐角的正切值的方法．

重难点突破方法：让学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动抓住重点、突破难点

教具：电脑、投影仪等多媒体设备

教学方法：探究、合作、交流、讨论法

教学课时：一课时

四、教学过程

一、情景导入

问题1：人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡．如图1，哪个台阶更陡？

图1

大多数学生会根据自己的生活经验来判断第二个台阶更陡一些，学生的回答大多是建立在倾斜的程度（实际上就是倾斜的角度）．

设计意图：较好地发挥了“情景导入”的作用，让学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度来判断和辨别，初步感受倾斜的角度越大，台阶就越陡．

问题2：如图2，哪个台阶最陡？你是如何判断的？

1

图2

4 6 ②

8 ①

8 6

12 ③

学生继续思考，寻找特点：

1．①、②两个水平宽度相同（都为8），高度不同，②中的高度（为6）高于①中的高度（为4），所以②比①陡．

2．②、③两个高度相同（都为6），水平宽度不同，②中的水平宽度（为8）小于③中的水平宽度（为12），所以②比③陡．

综合1，2可得，②最陡．

设计意图：由角度逐步转化为边之间的比较，来实现向新知识的自然过渡．

二、实践探索

问题4：如图4，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、

Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……

那么，你有什么发现呢？

B1AB2B3 C1C2C3图4

观察、思考，并归纳、小结：

可以得到Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽

Rt△AB3C3……

根据相似三角形的性质，得

2

B1C1B2C2B3C3……

AC1AC2AC3也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定．

设计意图：经过前三个问题的探究，学生似乎体会到斜坡倾斜的程度与边角之间的关系，让学生对所感悟的知识碎片进行整理，并结合图形进行准确地符号表达．通过数形结合的思维训练来探索数学规律，学习数学概念，有利于提高教学的有效性．

三、总结提升

如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA＝A的对边BCa＝＝．

bA的邻边AC

A B 对边a C 邻边b 你能用同样的方法写出∠B的正切吗？

图5

类比、归纳：

A 对边b 图6

B 邻边a C 如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b、a分别是∠B的对边和邻边. 那么，tanB＝B的对边ACb．

＝B的邻边BCa类似地，让学生类比出∠B的正切的表示方法．趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于学生深入认识正切的定义，初步实现教学目标．

四、例题讲解

例1

如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB．

B 5 3 A 4

C

发表意见，表达观点，相互补充．

参考答案：

解：在Rt△ABC中，BC＝52423，

tanA＝BC3AC4，tanB＝．

AC4BC3ab·＝1，所以，ba从而发现tanA与tanB互为倒数，即

tanA·tanB＝1．而且，根据定义，我们发现tanA·tanB＝

我们能得到互余两个角的正切值互为倒数．

例2

如图8，在等边三角形ABC中，AB＝2，求tanA．

拓展：

AD2

图8

CB

通过计算tanA的值，你对60º的正切值有什么认识？30º呢？你还能得到其他的吗？

发表意见，表达观点，相互补充．

参考答案：

解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD＝＝22123，tanA＝CD3．

AD1AB1．在Rt△ACD中，CD2从而发现tan60º3，而∠ACD＝30º，

tan∠ACD＝AD33，即tan30º．

CD33利用等腰直角三角形的特点，还能求出tan45º＝1．

设计意图：例2主要是针对角不在直角三角形中如何处理，要让学生明白寻找对边或邻边时要在该角所在的直角三角形中实现，从而引导学生去创造直角三角形培养学生分析问题的能力．

适时的问题拓展，开放性的问题设计，既综合整理、当堂复习了新课知识要4

点，又留给了学生自由发挥的空间．

拓展：

通过计算tanA、tanB的值，你有什么新的发现吗？

练习

1．如图9，求下列图中各直角三角形中锐角的正切值．

A ①

B A ②

C A 15 ③

7 5 5 17 C 图9

B

12

B C 2．如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

AB＝10，tanA和tanB．

A 10

C B 3，求AC、BC41．解：①在Rt△ABC中，

tan A＝BC5AC12，tanB＝．

AC12BC5②在Rt△ABC中，AC＝1721528，

tanA＝BC15AC8，tanB＝．

AC8BC15③在Rt△ABC中，AC＝725226，

tanA＝AC2BC5566．

，tanB＝BC5AC26123．

4AC4m4．又因为AB＝10，BC3m32．解：在Rt△ABC中，tanA＝设BC为3m，则AC为4m，所以tanB＝所以(3m)2(4m)2102，所以m2(舍去-2)，

5

所以BC＝3m＝6，则AC＝4m＝8．

检测学生对本节课知识的掌握程度，考查了学生解决问题的综合能力．练习1让学生体会不同位置摆放的直角三角形不会影响锐角的正切值．其中的第三个图形的设计让第三边AC的结果不是整数（为26）．

3，不4代表BC＝3，AC＝4）．练习2的处理可以在学生充分讨论交流的基础上，教师给出适当的引导（比如：可以设BC为3m等）．

练习2是正切的逆用，进一步让学生体会正切的结果是一个比值（tanA

五、课堂小结：

师生互动，总结学习成果，体验成功．

六、课后作业：

1．课本P99习题7.1第1、2题；

2．思考题（选做）：

你能判断下面两个楼梯哪一个更陡吗？

①

3 ②

5

7 5 设计意图：让学有余力的学生课后思考，让学生充分理解、掌握本节课所学内容，并且能做到灵活加以运用。

附板书：

正切

归纳概括: 例1 投 影 区 1、

2、

6

例2