2.2.1 直线的参数方程第一课时教学设计

2017年高考全国卷（坐标系与参数方程）分析与启示

尤溪县第五中学 王宗岳

一、特色解读

2017年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变，命题延续了以往对主干知识的考查，以直线、椭圆参数方程为背景，求曲线的交点坐标和最值问题，注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期. 近6年的全国课标卷在本专题考查的知识点如下：

年份

全国卷

I 2017 II III I 2016 II III I 2015 II I 2014 II I 2013 II 2012 I 圆的参数方程；轨迹的参数方程；三角参数的应用；

点的极坐标；椭圆参数方程；圆极坐标方程；坐标互化,参数应用；

圆的极坐标方程；参数方程；方程互化；三角参数的应用；

圆的参数方程；极坐标方程；方程互化；

直线的参数方程；圆极坐标方程；方程互化；极坐标几何意义；

直线的参数方程；椭圆的参数方程；方程互化；三角参数的应用；

全国卷涉及知识点

直线参数方程化为普通方程；椭圆的参数方程；点到直线距离；

圆极坐标方程；极坐标化为直角坐标；点到直线的距离；方程互化；直线参数方程；直线的极坐标方程；双曲线直角坐标方程互化；

直线极坐标方程；圆的参数方程、极坐标方程；方程互化；

圆的极坐标方程；直线的参数方程；方程互化；极坐标几何意义；

椭圆的参数方程；直线的极坐标方程；方程互化；参数的应用；

直线、圆的极坐标方程；方程互化；极坐标的几何意义；

根据（2012—2017）的考查统计，可以看出，高考课标卷对《坐标系与参数方程》的考查主要体现在平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线（直线、圆、椭圆、抛物线）的参数方程及参数方程的简单应用，以极坐标、参数方程与普通方程的互化，直线与曲线位置关系为主要考查形式.

知识：极坐标方程普通方程参数方程之间转化；

极坐标

极坐标

极径

极角

意义

到极点的距离PO考查方向

所在直线过极点的两点间的距离；

表示点的极坐标；

；

与极轴的旋转角Pox；

直线

参数

方程

参数

方程

圆

椭圆

抛物线

到定点所成的数量P0Pt；

表示出圆上的点（rcos,rsin）；

表示出椭圆上的点（acos,bsin）；

表示出抛物线上的点（2pt2,2pt）；

直线上两点的距离

（和、积、中点）等；轨迹、交点个数、距离（最值）等问题；

2．能力

（1）通过不同坐标系或不同形式的方程之间转换，考查运算求解能力. （2）某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，因些，极坐标的几何意义，参数方程的应用是高考命题的频点. 3．思想方法

（1）通过极坐标或参数方程解决直线、圆、椭圆等问题，考查数形结合思想. （2）解决问题时采用何种形式的方程比较方便，考查化归与转化思想. 二、亮点扫描

【例题一】（2016课标Ⅱ）

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225. （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l的参数方程是xtcos（t为参数）, l与C交于A,B两点，ytsin|AB|10，求l的斜率．

【解析】（Ⅰ）C的极坐标方程为2+12cos110. （Ⅱ）【解法一】直线l的极坐标方程为(R)；联立圆C的极坐标方程；



由

2+12cos110

得2+12cos110,

AB12(12)2412144cos244. xtcos【解法二】直线l的参数方程（t为参数）代入圆C的普通方程ytsin(x6)2y225，

得t2+12tcos110,

ABt1t2(t1t2)24t1t2144cos244.

【解法三】直线l的普通方程为ytankx, ykx

得(1k2)x212x110, 由22(x6)y25AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x214444. 21k知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用. 方法：求过原点的直线与曲线相交距离问题. （1）把直线的极坐标方程(R)与曲线的极坐标方程联立，两个交点距离为12(12)2412. （2）把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为t1t2(t1t2)24t1t2. （3）把直线与曲线全部化为普通方程，两个交点距离为

1k2x1x21k2(x1x2)24x1x2. 【例题二】（2017全国课标Ⅱ）

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．

（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

【解析】（Ⅰ）设点P的极坐标为(,)，点M的极坐标为(1,)，OP

OM14，|OM||OP|16，1.16，点P的轨迹C2的极坐标方cos4cos，从而C2的普通方程；(x2)2y24

（Ⅱ）点B在曲线C2上，点B的极坐标为(2,)，24cos，OAB面积

S13OA.2sinAOB4cossin()2sin(2). 2332知识：极坐标方程化普通方程，轨迹问题，极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用. 方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理. 【例题三】（2017全国课标III）

x2+t,在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方为ykt,x2m,（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

my,k(Ⅰ)写出C的普通方程；

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，(Ⅱ)以坐标原点为极点，设l3:(cossin)20，M为l3与C的交点，求M的极径．

【解析】(Ⅰ)直线l1的普通方程为yk(x2)，直线l2的普通方程为y1(x2)，kyk(x2)由，消去k得x2y24(y0).

1y(x2)k

(Ⅱ) 【解法一】直线l3的普通方程为xy20，曲线C的普通方程为x2y24，两曲线的交点M(322,)

求得M的极径. 222y2t2【解法二】直线l3的参数方程为代入曲线C的普通方程x2y24，得y2t2

t1，M(322,)

求得M的极径. 22【解法二】曲线C的极坐标方程为2cos22sin24（02,）直2222cossin4线l3的极坐标方程为(cossin)20，联立，5. (cossin)20知识：直线参数方程化为普通方程，轨迹问题，极坐标方程和参数方程的应用，

方法：求直线与曲线的交点坐标问题. （1）把直线与曲线分别化为普通方程，联立求交点坐标. （2）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标. （3）把直线与曲线分别化为极坐标方程，求交点极坐标，获得极径，

【例题四】（2017江苏高考）

x8t(t为参数),曲线C参数方程在平面坐标系中xOy中,已知直线l的参考方程为ty22x2s,s(为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值. 为y22s【解析】直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,22s)，

点P到直线l的的距离d|2s242s8|(1)2(2)22(s2)24，

5

知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用. x2pt2,(t为参数）方法：抛物线的普通方程为y2px，参数方程为，抛物线上的点y2pt,2可以设为P(2pt2,2pt)，转化为数形结合思想. 三、佳题欣赏

【例题一】（2017年厦门市第二次检测）

x1tcos

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），其y3tsin

中0.在以O为极点，错误！未找到引用源。轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：4cos.直线l与曲线C1相切.

（Ⅰ）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求的值；

2y0)，直线l与C2：x（Ⅱ）已知点Q(2，1交于A，B两点，求ABQ面积. 32【解析】（Ⅰ）C1的普通方程为x2y24x0，将直线l参数方程代入曲线得t(23sin2cos)t0，026

3x1t2（Ⅱ）将直线l的参数方程为代入曲线得5t283t60

y31t2ABt1t2(t1t2)24t1t2. 考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相切，直线与曲线相交的距离. 【例题二】（2017年福州市第一次检测）

在平面直角坐标系xOy中，在以O为极点，错误！未找到引用源。轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

曲线C1:4cos30,0,2，曲线2C2:34sin()6,0,2．

（Ⅰ）求C1的一个参数方程；

（Ⅱ）若曲线C1和曲线C2相交于A、B两点,求AB值．

【解析】（Ⅰ）曲线C1的普通方程为：(x2)2y21，从而C1的一个参数方程为x2cos（为参数）

ysin

（Ⅱ）【解法一】曲线C2的普通方程为2x23y30

因为直线C2：2x23y30与曲线C1：(x2)2y21相交于A、B两点，

1，AB2r2d2

.

433xt322

【解法二】直线C2过点(,0)，倾斜角为，曲线C2的参数方程为

26y1t2所以圆心到直线的距离为d代入C1：(x2)2y21，得4t223t30，

ABt1t2(t1t2)24t1t2. 考查知识：将圆的极坐标化为普通方程，再把圆的普通方程转化为参数方程，直线与圆的位置关系，由于直线C2没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难. 【例题三】（2017年三明市第二次检测）

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，建立极

坐标系，若直线错误！未找到引用源。的极坐标方程为错误！未找到引用源。，曲线C极坐标sin2cos错误！未找到引用源。，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数）错误！未找到引用源。. （Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线错误！未找到引用源。与曲线C1交于A,B两点，点错误！未找到引用源。，求PAPB的值．

【解析】（Ⅰ）C1的直角坐标方程为y22x2. （Ⅱ）直线错误！未找到引用源。的普通方程xy20，P(2,0)在l上，l参数方程

2x2t2

为y2t2(t为参数）代入曲线C1方程得t222t40,t10,t20，

PAPBt1t2t1t2(t1t2)24t1t2.

考查知识：把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意义.PAPBt1t2t1t2四、复习启示

1. 重视基础知识的复习

①写出点的极坐标，与直角坐标的互化；

②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程；

③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误. 2. 重视化归与转化思想方法

较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如：

①极坐标的几何意义；

②直线标准参数t的几何意义；

③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识. 3. 重视知识的交汇联系

①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；

②三角恒等变换（辅助角公式）等知识；以横向联系和纵向联系为主线，对模块内容加以整合，优化认知结构，构建良序的知识网络. 教学反思：对于极坐标和参数方程的题目，关键在于画图，利用数形结合，采用三种不同的方法，某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理. (t1t2)24t1t2.