5.5 用二次函数解决问题教案评析

盐城市鞍湖实验学校九年级数学导学案

第五章二次函数

5.5用二次函数解决问题（1）【利润最值问题】

班级______学号_____姓名___________ 【学习目标】

1.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。

2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。

【学前准备】

1.（2015江苏淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤。通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤。为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售。

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

2．某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 问题（1）总利润= × ，单件利润= — 。

（2）在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

（3）根据前面的分析我们若设每个涨价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是 ，化为一般式 。

这里y是x的 函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．

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第五章二次函数

【合作探究】

例1. 某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：

（1）已知y是x的一次函数，求销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式；

（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：试求出

日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？

x 3 5

y 18 14

例2.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. ⑴利用函数表达式描述橙子的总产量y个与增种橙子树的棵数x之间的关系. ⑵在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？

⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?

【课堂练习】

1．函数y(m1)xm2mx1是抛物线，则m＝ . 2．抛物线yx22x3与x轴交点为 ，与y轴交点为 . 3．二次函数yax2的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ，当x 时，y随x的增大而增大. 224．抛物线y6(x1)2可由抛物线y6x2向 平移 个单位得到. 12225．在同一坐标系中，作y2x、y2x、yx的图象，它们共同特点是 ( ) 2A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于y轴对称，抛物线开口向下

D.都是关于原点对称，顶点都是原点 D．都是关于y轴对称，顶点都是原点

50 21

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第五章二次函数

6．抛物线yx2mxm21的图象过原点，则m为（ ）

A．0 B．1

C．－1

D．±1

7．把二次函数yx22x1配方成顶点式为（ ）

A．y(x1)2 B．

y(x1)22 C．y(x1)21

D．y(x1)22

8．已知原点是抛物线y(m1)x2的最高点，则m的范围是( ) A．

m1 B．

m1 C．

m1 D．

m2

9．抛物线yx24x3在x轴上截得的线段长度是 ．

10．某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元，试问，该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益y最大？

11．某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如果售价为x元，总利润为y元。

（1）写出y与x的函数关系式

（2）当售价x为多少元时，总利润为y最大，最大值是多少元？

【课后作业】

1．关于二次函数y=ax＋bx＋c的图象有下列命题：

2①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax＋bx＋c=024acb2必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，4a函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

51 D．4个

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第五章二次函数

2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？

3.将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？

4.（2015江苏南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元。若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元。已知该服装成本是每件200元。设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元。

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

5．（2015江苏南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．

(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．

(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．

(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

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