14.5 等腰三角形的性质教案1

§14.5等腰三角形的性质

教学目标：

1、

通过观察、操作、说理等活动，发现并归纳等腰三角形两个底角相等的性质，培养数学语言归纳能力；

2、

经历用逻辑推理方法推导等腰三角形两个底角相等的性质的过程，体会实验归纳和逻辑推理这两种研究方法的联系与区别；

3、

掌握等腰三角形两个底角相等及“三线合一”的性质，能运用等腰三角形的性质解决有关的简单问题，发展基础性的逻辑推理能力. 教学重点：等腰三角形的性质的探究及应用.

教学难点：等腰三角形“三线合一”性质的应用.

教学过程：

教师活动

一、

等腰三角形的相关概念

1、引入：

问1：回顾三角形按边分类可以如何分？

这节课我们将主要研究等腰三角形的性质. 出示课题：§14.5等腰三角形的性质

2、等腰三角形的相关概念

问2：什么是等腰三角形？

说明：如图ABC是等腰三角形，AB=AC，这时，边AB和AC是它的腰，BC是底边，A是它的顶角，B和C是底角.

答1：

学生活动

设计意图

由已学的三角形的分类引出课题，体

现从一般到特

①

不等边三角形

殊的研究问题三角形

③

的方法.

②

等腰三角形

等边三

角形

注：①

三边不相等

②

两条边相等

③

三边都相等

答2：有两边相等的三角形叫做等

腰三角形.

A

顶角

腰腰

底角底角

CB底边

提出问题

二、等腰三角形性质

引导学生对等问1：观察你手中的等腰三角形，（要

腰三角形两个求学生每人准备一个等腰三角形），它

底角的大小关的六个元素中除了两边相等，还有哪些答1：等腰三角形的两个底角相等. 系进行探究.

相等的元素？

实验研究问2：你能否利用手中的等腰三角形，预设答2：等腰三角形是轴对称图方法是学生现通过操作说明两个底角相等呢？

形，沿对称轴翻折后，对称轴两阶段几何研究

1

说明：若学生不能想到等腰三角形的对称性，教师可作如下引导：

等腰三角形是一种美观的图形，常用于绘画建筑等方面，它的美主要是对称美，你能说说是指那一种对称吗？

问3：说说等腰三角形的对称轴是什么？

问4：请按顶角的平分线所在的直线翻折，看其左右两边的图形是否完全重合？

问5：通过实验操作说说等腰三角形底角相等的理由. 教师多媒体演示：

画三角形角平分线；沿顶角平分线翻折

边的部分互相重合.

预设答3：

（1）顶角的平分线所在的直线；（2）底边上的中线所在的直线；（3）底边上的高所在的直线.

学生动手操作；

答4：是的.

预设答5：（学生回答不完整，教师补充）

（1）将ABC沿直线AD翻折，因为BADCAD，所以将AABC沿直线AD翻折后，射线AB与射线AC叠合. A（2）由于AB=AC，因此线段AB与线段AC重合，于是点B与点C重合，又因为点D与点D重合所以线段BD与线段CD也重合，因BDC(B)BC此BC.

小结：

通过操作我们发现：

（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角

平分线所在的直线是它的对称轴；

（2）等腰三角形的两个底角相等.

问6：如果不进行操作，你能否用几何

说理来说明等腰三角形的两个底角相

等呢？

答6：学生口述：

问题：已知ABC是等腰三角形，且解：过点A作BAC的平分线AD，AD与BC相交于点D. AB=AC，说明：BC. A，

AD平分BAC（已知）A1212（角的平分线的意义）. 在ABD和ACD中，

BCBDC

ABD≌ACD(S.A.S)

问7：请归纳上面我们所得到的结论？BC（全等三角形的对

2 ABAC(已知)，12(已证)，

ADAD(公共边).的主要方法，将实验操作作为探究问题的起点，学生较易接受.

利用等腰三角形的对称性，通过猜测对称轴、翻折、利用叠合法说明的过程中，确定“顶角平分线所在的直线是它的对称轴”，“对称轴两边的图形重合，即全等”的事实.

此处操作说明时的语言很重要，教学中教师应引导学生用规范的语言叙述.

逻辑推理时所添加的辅助线，是由“操作”引出来的.

此处还可以用等腰三角形底边上的中线为辅助线，推理得出等腰三角形的性质，有学生提出给予肯定.

如何用符号语言表示？

小结：等腰三角形这一性质应用的前提是：在同一个三角形中.

问8：由上面的说理过程中还可以得到哪些结论？

ADBADC说明AD与BC问9：有怎样的位置关系？

问10：通过上述的说理，你还能得到哪些结论？

小结：等腰三角形的性质：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）. 问11：如何将这个性质用符号语言表示呢？

1AD为顶角的角如图，如何表示○2AD是底边上的中线？○3平分线？○AD为底边上的高？

应角相等）. 答7：（师生共同完成）

等腰三角形的一个性质：

等腰三角形的两个底角相等（简称：“等边对等角”）. 在ABC中，

ABAC（已知），

BC（等边对等角）.

答8：

ABD≌ACD(S.A.S)

ADBADC（全等三角形的对应角相等）.

BD=CD（全等三角形的对应边相等）. 答9：

ADBADC，

且ADBADC180，

ADBADC90，

ADBC. 答10：AD不仅是顶角的角平分线，还是底边的中线和底边上的高.

A答11：

121∠1 =∠2；

○2BD=CD；

○3ADBC.

○

BDC

说明：“等腰三角形的三线合一”这一

1、2、3中已知其中性质指的是以上○○○

任意一个就可以得出其余两个.

问12：请用符号语言表是：

1得○2、○3

由○

答12：（师生共同完成）

3

将所得性质用符号语言表述，提高符号语言、文字语言、图形语言的转化能力.

将所得性质用符号语言表述，提高符号语言、文字语言、图形语言的转化能力.

等腰三角形的三线合一性质的符号表示的第一种以教师示范为主，后面两种

2得○1、○3

由○

1得○2、○3

由○

补充：有了这个性质，还可以进一步得到：等腰三角形的对称轴还可认为是底边上的高所在的直线，或底边上的中线所在的直线.（大家前面的猜测是正确的.）

三、等腰三角形性质的应用

我们通过探究得到了等腰三角形的三个重要性质，它们如何应用呢？

试一试：

（1）如图，已知AB=AC，B70，求C和A的度数. A

问1：题中有哪些条件？求什么?

问2：如何求？依据是什么？

教师根据学生回答板书：

解：（1）∵

ABAC（已知），

∴BC（等边对等角），

∵B70（已知），

∴C70（等量代换）. （2）∵BC70，

又ABC180（三角形内角和等于180），

∴A40. 小结：在等腰三角形中若已知一个内角，即可求出其它内角的大小. （2）已知ABC是等腰三角形，且有一个内角为70，那么其它两个内角的度数为_________________. 问：如何思考？

BC（1）已知等腰三角形的顶角平分线：

在三角形ABC中，AB=AC , ∵

AD是角平分线

（已知）,

∴

ADBC，BD= CD（等腰三角形的三线合一）. （2）已知等腰三角形底边上的中线：

在三角形ABC中，AB=AC, ∵AD是中线（已知）

∴

AD⊥BC

，

∠1 =∠2（等腰三角形的三线合一）

（3）已知等腰三角形底边上的高：

在三角形ABC中，AB=AC, ∵AD是高（已知）

∴

BD=CD，

∠1 =∠2（等腰三角形的三线合一）

答1：题中已知等腰三角形的底角，求其另一底角和顶角的度数. 答2：由等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和性质求解.

预设生答：

4 以填空的形式让学生练习.

变式是“等边对等角”性质的应用，同时渗透分类讨论的思

小结：分类讨论的数学思想

（3）如图，已知AB=AC，BAC110，AD是ABC的中线，则1=_______，2=________；

由于未告知已知角是顶角还是底想. 角，所以要分两种情况讨论：

（1）当已知角为顶角，则另两角（3）为课为55和55；

本例题2，是（2）当已知角为底角，则另两角“等腰三角形为70和40. 三线合一”这答：55和55或70和40. 一性质的简单A12

应用，此处改

为填空题，有BDC

学生习惯用三

问：如何思考？

角形的全等说

生答：

明问题，应引

预设1，利用已知条件说明导学生学会使ABD和ACD全等，

从而得出用简捷方法解

所求结论. 决问题.

预设2，

本题已知等腰三角形顶角，及底

边上的中线，可考虑用“等腰三

角形三线合一”的性质求解.

∵

ABAC（已知），

又∵AD是ABC的中线（已

知）

1

∴12BAC（等

2

腰三角形三线合一），

∵BAC110（已知），

小结：若已知等腰三角形及顶角平分∴1255（等式性质）.

线、底边中线、底边上的高三线之一，

可考虑用“等腰三角形三线合一”的性

质来说明，而不用三角形的全等，以简

化说理过程.

课堂练习：P107，2、3.

补充例题：如图，已知AB=AC，AD是

补充例题BC边上的高，且

可用三角形的

全等来说明，DEAB,DFAC，垂足分别是

但比较繁琐，E、F，试说明BE=CF.

引导学生灵活

运用等腰三角

形的性质解

题，优化解题

过程.

此题还可

5

答：可先说明BDECDF；

同过说明AED和答：由DEAB,DFAC，可AFD全等，说明AE=AF，得12；

EF12由于AB=AC，由“等边对成角”从而得到BCDBE=CF. 可得：BC；

问：如何说明BE=CF？

又因为AD是高，由“等腰三角形

三线合一”的性质可得：BD=CD.

问：如何说明BDECDF？

教师根据学生回答板书：

所以，BDE≌CDF（A.A.S）

解：∵AB=AC，

∴BC（等边对等角），

∵AD是BC边上的高（已知），

∴BD=CD

（等腰三角形三线合一），

∵DEAB,DFAC（已知），

∴1290（垂直的意义），

在BDE和CDF中：

12,

BC,

BDCD,

∴BDE≌CDF（A.A.S）.

∴BE=CF（全等三角形的对应边相

等）.

补充练习:

如图，四边形ABCD的对角线AC与

BD相交于点O，AB=AD，且ACBD，

试说明12.

B

1

ACO

2

D预设生答：

四、课堂小结

等腰三角形的三条性质及其应今天你主要学习了什么，有什么收用. 获？

五、布置作业

练习册，习题14.5

A

6