5.4 二次函数与一元二次方程名师课堂实录

《二次函数与一元二次方程》教学设计

【教学目标】

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；

2.理解二次函数的图像与x轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系；

3.在探索学习过程中体会数形结合数学思想方法。

【教学重难点】

探索二次函数与一元二次方程之间的关系

【教学过程】

一、导入

“同学们，看到这个课题，你回想到了什么？”

“那一次函数与一元一次方程、不等式有怎样的关系呢？，比如：y2x3这个一次函数与方程、不等式有怎样的关系？从数的角度看回答：知道了其中一个变量的值可以求另一个变量的值，也就是方程的解；知道一个变量的范围可以求另一个变量的范围，这就是不等式。从形的角度看，在直角坐标系中，如何理解一次函数与方程、不等式的关系呢？”

具体的问：从图像上可以看出y0的意义，y1是什么意义？yx1呢？y0呢？

一次函数

一元一次方程

一元一次不等式

数

y2x3

2x30

2x31

2x3x1

2x30

2x31

2x3x1

形

“类比之前探究一次函数与一元一次方程关系的过程，本节课我们一起来探究二次函数与一元二次方程的关系。”如何探究两者的关系呢？

二、初步感知

“比如：yx2x3，他跟方程有什么关系，你能说说你的想法吗？”

生：令y0，则x2x30，这是一个一元二次方程；

“体现在图像上，你有什么猜想？”

生：在二次函数yx2x3中，令y0，就可以得到它的图像与x轴的交点坐标，

交点的横坐标就是方程x2x30的实数根

“请在网格纸上建立适当的平面直角坐标系，画出二次函数yx2x3的图像”

展示学生所画图像，直观感受二次函数和一元二次方程之间的关系

“由此，你能得出一般结论吗？”

学生说，老师板书：

22222

二次函数yaxbxc，令y0，得到一元二次方程axbxc0；

“数”的角度

二次函数yaxbxc的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程axbxc0的实数根。

“形”的角度

“也就是说，知道了二次函数yaxbxc的图像与x轴交点的横坐标就知道了一元二次方程axbxc0的根，反过来，知道了一元二次方程axbxc0的根也就知道了二次函数yaxbxc的图像与x轴交点的横坐标”

三、合作交流

22222222

“请你试着描述一下你所发现的一般结论”

b2-4ac＞0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根↔二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点

b2-4ac＝0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根↔二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有且只有一个公共点

（顶点）

b2-4ac＜0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根↔二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴没有公共点

（先单向箭头，反过来也成立，再补全双向箭头）

四、问题探究

问题1：若二次函数

的图像与x轴有2个公共点,求k的取值范围. 变式1：若二次函数

的图像与x轴有公共点,求k的取值范围. 变式2：若函数

的图像与x轴有公共点,求k的取值范围. 2例2：已知抛物线y＝ax＋b x＋c图像如图所示：

2（1）方程ax＋b x＋c =0 的解为__________. 2（2）方程ax＋b x＋c =2 的解为__________．

2（3）若方程ax＋bx＋c=k有实根，

则k的取值范围___________．

（例2的第（2）问出来时，问学生跟（1）中方程有什么不一样，这个方程是怎么来的，回看板书，不仅可以令y=0，可以令y=任意一个常数，令y=k也可以，请学生们类比猜想，22一元二次方程ax＋b x＋c =k的实数根就是二次函数y＝ax＋b x＋c的图像与直线y=k的22交点的横坐标，一元二次方程ax＋b x＋c =k的根的情况就决定着二次函数y＝ax＋b x＋c的图像与直线y=k的公共点个数，完成第（3）小问）

“再请同学们大胆猜想一下，除了令二次函数中y＝ax2＋b x＋c中的y=0，y=k，我们还可以令y=什么呢？还可以继续研究什么问题或者解决什么问题呢？”

可以令y=kx+b,研究二次函数的图像与一次函数的图像的公共点个数

五、课堂小结

经历了这节课的探究过程，此刻，你最想说的是什么？

知识点归纳、数学思想归纳、期待继续学什么

“请同学们回想本节课一开始所画的二次函数

的图像，你还想提出什么问题吗？”

以后继续探究二次函数与一元二次不等式的关系