综合优秀教案说课稿

湖塘实验中学2018~2019学年第一学期九年级数学学科教学案

线段和差最值问题

班级______ 姓名 一、自主研读初步学

（一）方法指导：线段和差最值问题可以分为最大值和最小值.在初中包含三个方面的问题: 1.几何图形：

①平面内，两点之间线段最短. ②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短. ③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 2.不等式: ①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5. 3.函数:①二次函数a>0时有最小值, a<0时有最大值；

②一次函数、反比例函数、二次函数中的x有取值范围时，y有最大值和最小值. 中考压轴题中有一类热门问题——最值问题，这些题目虽形式各异，但万变不离其宗，下面我们专门研究在几何中，利用三角形三边关系解决线段和差的最值问题.

一、

线段和的最小值问题——“将军饮马”模型

l上找一点P，使得PA+PB最小. 已知：在 l同侧有A、B两点，在直线

分析:这是两线段和的最小值问题，

l的对称点，l上首先借助轴对称性质，作一个定点关于 再利用“两点之间线段最短”找到P点.最后在 任取一点C，利用“三角形三边关系——两边之和大于第三边”说明P就是使得PA+PB最小的位置. 尝试验证：请你在上图中画出图形，并说明PA+PB最小.(写在图右边空白处)

二、线段差的最大值问题

l同侧有A、B两点，在直线 PAPB最大. 1.已知：在 l上找一点P，使得

l于点P，此时PB-PA最大.分析：这是两线段差的最大值问题，首先连接BA，作BA的延长线交直线 其次，在 利用“三角形三边关系——两边之差小于第三边”说明P就是使得PB-PAl上任取另一点P，最大的位置. '''在△ABP中，ABPBPA理由：

又当P、A、B三点在同一直线上时，AB=PBPA，

P即为使PB-PA最大的位置1 老师教的东西是老师的，只有自己不断消化，才能变为自己的。

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l异侧有A、B两点，在直线 PAPB最大. 2.已知：在 l上找一点P，使得

分析：首先这是线段差最大的问题，上一题两点在直线同侧时可以找到点p，那么就可以利用轴对称的知识把异侧的问题转化成同侧的问题. 尝试解决：请在上图中找出点P，保留作图过程. （二）自主检查

1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是_____________．

2．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=_____________．

3．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为________________．

第1题

第2题

第3题

4.

(2017枣庄) 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为____________________. 5. (2017营口)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为______________.

第4题

第5题

【学生活动】1.认真阅读教学案自主研读初步学部分.2.根据教学案的方法指导，尝试利用平面内，两点之间线段最短、在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知识完成线段和的最小值问题、线段差的最大值问题的两个作图.3.通过自主学习写一些疑惑的地方. 【教师活动】1.组织学生根据教学案中问题认真阅读教学案，完成自主检测部分.2.批阅所有学生的课前自主学习部分，根据学生的掌握情况进行个人二次备课，完备教案. 2

老师教的东西是老师的，只有自己不断消化，才能变为自己的。

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【设计意图】通过方法指导让学生1.回顾线段和的最小值问题的处理办法，即当两定点在动点所在直线的同侧时，作一定点关于这条直线的对称点，连接另一定点，与直线的交点即为所作点.2.线段差的最大值问题,当两定点在动点所在直线的同侧时，利用两边之差小于第三边知识,找到此点即为两定点与直线的交点;当两定点在动点所在直线的异侧时,作一定点关于这条直线的对称点，转化成两定点在直线同侧进行解决.3.设计了5 个自主检测题，均为线段和的最小值问题,分别为正方形、平行四边形、等边三角形、平面直角坐标系背景的题，目的是让学生熟练掌握好两条线段和的处理办法，夯实基本功，为解决本节课多线段和做好铺垫.4.学生提出疑问，以便老师掌握学情，及时调整教学内容，也让学生带着问题进入课堂，更有针对性. 【时间安排】30分钟

二、合作探究深化学

(一)检查与建构

1.交流自主学习中存在的问题或困惑

2.

点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PAPB的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OPOQ＝

．

【学生活动】1.回顾自主学习内容，思考问题，进一步梳理线段和最小、差最大问题的处理办法；

2.小组合作交流自主学习中存在的问题，形成共识；3.完成检查与建构部分习题. 【教师活动】1.组织学生解决自主学习中存在的问题；2.巡视，走进学生，了解学生的想法；3.请学生展示，归纳解决问题的一般方法. 【设计意图】对线段和差的两个最值模型的检测, 进一步归纳解决问题的一般方法. 【时间安排】5分钟

(二)深度探究

问题1：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

y

C B

D

O A x

3

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问题2：把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．

（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.

【学生活动】1.学生独立完成深度探究两个问题；2.围绕问题展开小组谈论；3.大班交流，畅谈如何在建立线段和最小模型，通过交流获得感悟，并归纳、总结、提炼方法. 【教师活动】1.巡视学生独立完成深度探究两个问题；2.组织学生展开小组谈论；3.总结归纳解题策略.讨论要求：问题1求三角形周长最小、四边形CDEF的周长最小，不再是预习中两线段和最小，如何转化成我们熟悉的问题解决？问题2，你是如何求出这个最短总路径的长的，小组交流解决思路，准备大班展示，展示要求：大胆、大声、大方. 【设计意图】1.问题1中，（1）求三角形周长最小，由于CD是定边，就可以转化为两条线段和最小的将军饮马问题了，（2）要使四边形CDEF的周长最小，注意到DC、EF的长为定值，故只需DE+CF最小，用轴对称及平移方法设法将DE、CF集中到一条直线上解决问题。 2. 问题2考查了最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 【时间安排】20分钟

三、当堂检测

1．（2014秋•武侯区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一点，当PB+PE最小时，线段AP=

．

2．（2015秋•温州期中）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C是半圆弧AB上的一点，且∠CAB=40°，点D是BC的中点，点P是直径AB上的动点，则线段PC+PD的最小值是

．

3.如图，矩形OABC中，D为对角线AC，OB的交点，直线AC的解析式为y=2x+4，点P是y轴上一动点，当△PBD的周长最小时，线段OP的长为

．

4．（2013秋•市中区期末）如图，A（，y1），B（2，y2）在反比例函数y=图象，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与BP差最大时，点P坐标为

．

4

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【学生活动】1．认真完成当堂检测，速度快的学生完成挑战题：2．回顾本节课主要内容，加

强对重点内容的理解和掌握. 【教师活动】1．巡视，面批，及时进行补偿教学：2．对主要内容再次总结、归纳和强调. 【设计意图】通过两道配套问题有针对性的检测学生本节课的掌提情况，同时让学生在解题

过程中进一步巩固本节课所学知识要点，体悟数学思想方法．设置挑战题体现分层思想，满足

不同层次学生的需求. 【时间安排】10分钟

5

老师教的东西是老师的，只有自己不断消化，才能变为自己的。