*5 一元二次方程的根与系数的关系优秀公开课教案

第二章 一元二次方程

5．一元二次方程的根与系数的关系

教学目标

知识与技能

掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理，求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解决一些简单的问题。

过程与方法

在探究一元二次方程根与系数关系的过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法，培养学生解决问题的能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

情感态度与价值观

通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点

1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

教学难点

1

1、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

2、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

教学过程

本节课设计了七个教学环节：

第一环节：复习回顾；

第二环节：情境引入；

第三环节：探究新知；

第四环节：尝试发展；

第五环节：拓展创新；

第六环节：感悟与收获；

第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾

1、一元二次方程的一般形式？ 2、一元二次方程的求解方法？

3、一元二次方程有实数根的条件是什么？ 4、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？

5、一元二次方程的求根公式是什么？

2

第二环节：情景引入

我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？

（1）x+3x+4=0 （2）6x+x-2=0 （3） 2x-3x+1=0 222第三环节：探究新知

2、刚才我们发现了部分方程两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？

3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax+bx+c=0 (a≠0)的根x1，2x2与a、b、c之间的关系：____________。

4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

第四环节：尝试发展

尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积

（方程两根为x1，x2、k是常数）

（1）2x2-3x-1=0

x1+x2=________x1x2=________

（2）3x2+5x=0

x1+x2= ________

x1x2= ________

（3）x2+7x=-6

x1+x2= _________

x1x2= _________

（4）5x2+kx-6=0

x1+x2= _________

x1x2= _________ 尝试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的

3

（1）平方和 （2）倒数和 （3）差

2尝试题3：已知方程6x+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。

第五环节：拓展创新

1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。

2、变式训练：

已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？

3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3. 目的：1、第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。

2、第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样性及其中的规律

效果：留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷，

第六环节 感悟与收获

内容：师生互相交流总结

在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

4

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=

，x1x2=

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

第七环节 布置作业

P52

A 知识技能1 B 数学理解3 C、已知方程板书设计

的一个根为2，求另一个根及的值。 一元二次方程根与系数的关系

一般形式： 推导过程：

求解方法： 例题：

求根公式：

教学反思

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