一元二次方程的概念教案及板书设计

第二章

一元二次方程

1．认识一元二次方程（一）

河北保定外国语学校

唐春元

课题：2.1.1认识一元二次方程

课型：新授课

教材分析：1．本节以生活中的实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，让学生掌握一元二次方程的特点，

从而归纳出一元二次方程的一般形式。本节内容是在前面所学各类型整式方程的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。

2．这些概念以及一元二次方程的一般形式是全章后继内容的基础。

3.让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的基本思想。

学情分析：1.该班级学生在平时课堂中已经形成了良好的合作探究精神，在学习中可以充分发挥合作的优势，充分调动学生主动性和积极性，使课堂气氛活跃，让学生在愉快的环境中学习。

2.作为该班的班主任，同时又担任该班的数学教学，对学生学习情况比较了解，在解决问题的时候可以兼顾不同学习能力的学生，充分调动学生的积极性，在当堂训练的设计上要针对学生的学习情况采取分层设计的方法，着重加强对学生的双基训练。 教学目标：1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．

2.正确理解一元二次方程的概念. 3.掌握一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数, a≠0) 教学重点与难点：

重点：一元二次方程的概念及一般形式. 难点：对一元二次方程的概念理解(特别是a≠0情况). 教学过程：

一、复习回顾，唤起记忆

1、我们已经学习过哪些方程？

2、在学习这些方程时我们经历了怎样的学习过程？

设计意图：通过复习之前学习过的方程类型以及学习方程的过程，唤起学生学习方程的知识点的记忆，为本节课学习一元二次方程的概念打下基础。n·j·y

二、探究学习，感悟新知

活动内容1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯（如图2-1），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度xm，那么你能列出怎样的方程？21·cm

设计意图：提出了半开放性的问题，本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对具体问题进行分析，训练学生从具体问题中抽象出几何图形，旨在提高学生分析问题的能力，提高学生抽象思维能力。

教学要求与效果：要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图．地毯到教室两边宽度为xm，地毯的长用含x的代数式怎么表示？宽用含x的代数式怎么表示？

从实际效果来看，学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同。

活动内容2：观察下列等式102+112+122=132+142.你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？-1-cnjy-com

设计意图：上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。

教学要求与效果：-y找到等式10+11+12=13+14之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，在课堂中教师需要关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。

从实际效果来看，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个小高潮。

活动内容3：

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？你能计算222228

出滑动前梯子的底端距墙多少米？如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程？

教设计意图：通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。

教学要求与效果：先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。

从实际效果来看，由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。：21教育名师】

活动内容4：

由上面三个问题，我们可以得到三个方程：

(8-2x)(5-5x)=18，x2+(x+1) 2+(x+2) 2=(x+3) 2+(x+4) 2，（x＋6）2＋72＝102，

化简得：2x2

－13x＋11 = 0，x2－8x－20＝0，x2＋12

x－15 ＝0．

上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程

，并且都可以化为

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2

，

bx

，

c分别称为二次项、一次项和常数项，a，

b分别称为二次项系数和一次项系数．【版权所有：21教育】

设计意图：关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解，学生基本能识别一元二次方程及各个部分．21教育名师原创作品

三、例题解析，应用新知

活动内容：

1．下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？

(1)7x2－6x＝0；

(2)2x2－5xy＋6y＝0；

(3)2x2－21－1 ＝0；

3xy(4)＝0；

(5)x2＋2x－3＝1＋x2．

2

2．关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0,当k

时，是一元二次方程．

3．关于x的方程(k2－1)x2＋2 (k－1) x

＋2k

＋2＝0，当k

时，

是一元二次方程．当k

时，是一元一次方程．21*cnjy*com

4．把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

方

程

3x2=5x-1

一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

(x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 网 版设计意图：问题（1）（2）（3）中考察学生对一元二次方程概念的掌握，问题（4）学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大，但写出它的二次项系数。一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号。作为第一次学习，这是难免的，当然在教学中也加入了当堂测试环节，帮助学生进行巩固学习。

四、回顾反思，提炼升华

通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．

学生畅谈自己的收获！

设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．【

活动的实际效果：

绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题。

五、达标检测，反馈提高

1．一元二次方程的一般形式是__________．

2．将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________．

3．将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________．

4．方程2x2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________．

5．下列方程中，不是一元二次方程的是

A、2x2+7=0

B、2x2+23x+1=0

C、5x2+6．方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是

A、x2－5x+5=0

B、x2+5x+5=0

C、x2+5x－5=0

D、x2+5=0．

六、布置作业，课堂延伸

必做题：课本P32

练习2.1

第1、2题.

选做题：课本P32

练习2.1

第3题.

七、板书设计：

一、一元二次方程的概念

二、例题

三、练习

§2.1 认识一元二次方程（1）

1+4=0

D、3x2+(1+x) x2+1=0

八、教学反思：

本节课主要介绍一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的概念。强调自主学习，注重合作交流，学生在组内的合作交流，使他们在合作探究的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，提高探究、发现和创新的能力。让学生经历了一元二次方程的产生过程，并结合一元一次方程的概念让学生来归纳出一元二次方程的三个特点①只有一个未知数；②未知数的最高次数是2次；③方程两边都是整式。

本节的第二个知识点就是一元二次方程的一般形式，学生在理解起来是比较容易的，引导学生养成将方程左边写成降幂形式。特别要强调二次项的系数不等于0，即

a≠0。

通过这节课的自我反思,以后要在师生交流方面多下工夫,重视学生的想法,多给学生一点自主学习的时间,并且多对学生的课堂表现进行及时评价，同时加强板书教学。