1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系教学设计及教案分析

郫都区高中数学2018赛课活动

设计学校：成都石室蜀都中学

设计教师：陈磊

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郫都区高中数学2018赛课活动

课题：极坐标复习课（高二）

(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修4—4第一章第二、三节) 成都石室蜀都中学 陈磊

一、内容和内容解析

1．教学内容

《极坐标方程》共分两小节，第一小节内容是极坐标系的概念，极坐标和直角坐标的互化；第二小节内容是圆的极坐标方程，直线的极坐标方程．本课时为复习课．

2．地位与作用

坐标系是解析几何的基础，在坐标系中可以用有序实数组确定点的位置。进而用方程刻画几何图形，为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。进一步揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想。

二、目标和目标解析

本课时的教学目标是结合已学过的极坐标知识，了解曲线与极坐标方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：

1.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别；

2.运用类比方法，经历极坐标方程本质的感悟；

3.能在极坐标系中给出简单图形的方程，并用极坐标方程解决数学问题的能力。

三、教学问题诊断分析

1．问题诊断

学生已经对“极坐标”有着感性的认知基础，对极坐标系的概念、极坐标和直角坐标的互化、圆的极坐标方程、直线的极坐标方程等有初步的了解．但是从直线与极坐标方程、圆与极坐标方程到曲线与极坐标方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用极坐标方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的极坐标方程（极坐标方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：

（1）活动一结束后，学生独立地完成例题时不全面；

（2）难以理解

“曲线与极坐标方程”和“运用极坐标方程来解题”．

2．重难点

重点：用类比方法，经历极坐标方程本质的感悟

难点：用极坐标思想解决数学问题的能力

3.突出重点、突破难点的策略

本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循复习教学的规律，使学生在过程中感受数形结合，从特殊到一般，化归与转化的数学思想．

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四、教学支持条件分析

1．学情分析

本课授课对象是郫都区第一中学高二理科普通班的学生，数学基础较扎实，思维较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升．

2．教学策略与教法、学法

本课采取“活动—发现—归纳”教学模式．

教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现，并归纳概括．

学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构．

教具：多媒体PPT课件，手机，三角板，圆规，粉笔

学具：教材、草稿本、学案、笔

五、教学过程设计

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下：

教学内容

活动一

师生活动（预设）

通过问题吸引学生注意力，激发学生的思考“极坐标和直角坐标的联系”。

通过“问题引导”将学生从感性记忆，转到理性理解上来，再延伸到类比研究方法上来，形成认知合理性和必要性．

设计说明

师：如何在平面上准确定位一个点M对于另一个点O的位置？

回归教材 巩固基础

生（举手）：（直角坐标和极坐标）

师：（根据学生回答，画图）

师：用两种坐标系表示同一个数学对象，

那么它们之间一定有联系，所以极坐标

和直角坐标可以互化吗？

生：（齐答）可以

师：互化的公式是什么？

通过设问，将学生从几（教师板书“一，坐标互化公式”）

何问题逐步转移到对解析几何用代数方法研究点与点位置关系问题的回顾．

生1：，x≠0

师：结合三角函数的定义，可以快速的

理解和记忆。

师：把M点动起来，形成以C（ρ0,θ0）

为圆心，半径为r的圆。如何求这个圆

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理解曲线与极坐标方程之间的关系，将为我们用代数方法研究几何图形提供可能．

的极坐标方程？

生：（思考）

师：首先我们应该知道什么叫极坐标方程？类比我们的直角坐标方程，构建X与Y的方程（组），那么极坐标方程就是构建ρ与θ的方程（组）

（教师板书“二，求简单曲线的极坐标方程”）

生2：“转化”，先求“直角坐标方程” ，再转化为“极坐标方程”

生3：“类比”，求直角坐标系下的轨迹方程的方法（定义法、直接法、参数法等）. 师：是的，我们一起来求一下这个圆的极坐标方程

生（齐）：观察．

通过创设，浸润用数学的眼光来观察世界，从静到动，从点到线，形成学生的数学认知．

220-20cos(0)

师：这个方程完备了吗？ 生4：M1(0,0),M2(0,0)要检验． 师：0和0代入方程的与

活动二 小组合作，攻破难点

【例题】

在极坐标系下，圆C1的极坐标方程是-2cos

，圆

C2与圆C1

外切于极点O ，且两圆圆心的距离等于3 。（Ⅰ）求圆C2

的极坐标方程；（Ⅱ）过极点O 的直线

l1,l2与圆C2

异于点O 的交点分别为点A 和点D ，与圆C1

异于点O 的交点分别为点C 和点B ，且l1l2

。求四边形

2师：请大家按照要求完成例题． 师：第一问独立完成，小组内对比．第二问只探究思路，看谁的方法简洁,可以暂不计算. （教师板书“三，解决极坐标问题的思路”）

生5：先转化为直角坐标在转化为极坐标24cos先化简为4cos（用希沃授课展示）

师：有不同意见吗？

生6：要检验0是否成立！

师：怎么检验？

生6：利用极点的特殊性

师：好！你关注到了方程的恒等变形，值得我们学习。

师：先看几何画板观察，第二问有最大值吗？怎么求？

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ABCD 面积的最大值.

例题的设计是让学生学会分别从曲线和方程出发，判断方程与函数之间的关系，初步学会应用．引导学生知识的再认识．

【阶段小结】教师适当提示，请学生根据自己感受小结．

活动三 学以致用

感受考题

1、化极坐标方程2cos0

为直角坐标方程为

2、直线3R

与圆4cos相交所得的弦长为

3、（2016.上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是(

)

学生已具有直1sABCD(|AB||CD|)线、圆的极坐标方程2的知识基础．在此认1通过引导(|OA||OC|)(|OB||OD|)

知基础上，2学生作图、观察、分f(k)(k0)析有两条直线，感受生8：和体会从特殊到一般，数形结合的思想1sABCD(|AB||CD|)方法．

2

1

(|OA||OC|)(|OB||OD|)． 2



f()((0,),）2通过教师的引师：你根据刚才的探究进行总结． 导让学生感知从不生9：（1）转化为直角坐标（2）极坐标

同坐标系得出方程，师：大家做得非常好！

还有吗？

用函数思想求最大方法三：基本不等式……

值的共性。教师再适

当地补充解法，让学方法四：纯几何法……

生多角度体验曲线

与方程，方程与函数（适当拓展）

之间的关系．

师：请你说一下第1题的结果是什么？

生10：x2+y2=0 要求学生根据22生11：不对．应该是x+y=0或x=1 复习内容，独立完师：能说说理由吗？

成．

生11：恒等变形

师：请看练习2，独立完成

（学生作图，应用知识）

生12：2

师：你怎么做出来的？

生12；转化为直角坐标

课堂检测的作师：其他同学呢？

用是检测学生在对知识的理解是否深生13：直接用

与的几何意义

入，应用是否灵活，师：非常好，下面我们来感受数学之美

表述是否准确．

观看视频“数学演讲”

生：看视频

师：其实几何画板可以做出来图像

生：看几何画板作图解

师：考试怎么办呢？

生14：特殊点．

师：哪些特殊点

生7：

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生：最值点

从笛卡尔的爱情传说中，关于ra(1sin)与心

A. =6+5cos

B. =6+5sin

C. 65cos

D.65sin

活动

归纳总结 思维提升

形曲线的关系感受数学之美。

生：1：处理极坐标系的问题大致有两种．

思路：

（1）化极坐标方程为直角坐标方程再处

理；

师：今天我们复习了什么呢？

（2）根据ρ、θ的几何意义直接求解. 要结合题目本身特点，克服把所有问题直角坐标化. 2：建立曲线的极坐标方程的方法步骤. （1）在曲线上任取一点P（ρ,θ）. （2）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程. （3）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略）. 求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义法、直接法、参数法等. 3：利用极坐标思想方法可简便解决一些涉及线段与角之间数量关系的问题.

师：我们还可以进一步提升极坐标的应用能力

1、

必修4-4 ，教材P15，T6（你能用直角坐标与极坐标分别做出来吗？）

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2、已知

C,C极坐标方程分别为12cos3,4cos（0,0点极坐标.

2

），求曲线

C与

C交123、在极坐标系中，曲线C：2cos，O为极点，A,B为C上两点，且AOB3，求OAOB最大值。

4、已知C1:x2,C2:(x1)2(y2)21，若直线与C1,C2分别交于M，N，求4SCMN。

2

附：板书设计

教师作图区

选修4-4 极坐标（复习）

PPT展示区

例1 （1）

（2）

一、

坐标互化公式

二、

求简单曲线的极坐标方程

三，解决极坐标问题的思路

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