2.2.1 直线的参数方程第二课时教案

直线的参数方程

成都市武侯高级中学 杨孝勇

学情分析：上课班级为该校的普通班级，学生比较积极上进，有一定的运算能力、逻辑推理能力，该班同学能够进行简单的讨论交流，比较缺乏探究能力。

教材分析：

“直线的参数方程”在人教A版《普通高中课程标准实验教科书（选修4-4）》中位于第二讲第三节，已经学习过了参数方程的概念和圆，椭圆的参数方程的概念及意义。这为本节课做好了铺垫，学生知道研究参数方程的一般方法。教学中可以充分利用知识点之间的联系，引导学生通过类比的方法探讨直线的参数方程。

教学目标：

1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研

的科学精神、严谨的科学态度．

教学重点：联系向量知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论.

教学手段：多媒体课件．

教学过程：

一、回忆旧知，做好铺垫

教师提出问题：

1在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

学生回答：一点和斜率（倾斜角）或两点

2..直线的方向向量的概念．

学生回答：若已知向量n(a，b)，直线l上任意两点M,N,构成向量的MN

与n共线，则称n为直线l的方向向量. 3.已知一条直线的倾斜角能否得到直线的单位方向向量？

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出e(cos,sin)，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．

当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．

1

【板书】e(cos,sin)，当0时，sin0，

e的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，让学生发现知识之间的联系，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

4.

你认为应当怎样选择参数，能够用定点M0(x0,y0)和单位向量e、

将动点

M(x,y)表示出来？

问题4不急于让学生回答，先引起学生的思考．

【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．

二、直线参数方程探究

学生对问题4回答起来比较困难，可以给出下面两个提示：

提示1：向量M0M与e什么关系？提示2：向量共线的充要条件是什么？

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思

考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

0[)）因为e(cos,sin)，（,，MMxy(,)x(y,)0(0xxy,y0)00，

又M0M//e，所以存在实数tR，使得M0Mte，即

(xx0,yy0)t(cos,sin)．

于是xx0tcos，yy0tsin，

即xx0tcos，yy0tsin．

因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程为

xx0tcos  （t为参数）． yytsin0【板书】M0M(x,y)(x0,y0)(xx0,yy0)，又M0M//e，tR，使得M0Mte，得：xx0tcos

yytsin0教师提出如下问题让学生加强认识：

①

该方程中哪些是变量？哪些是常量？

②

该参数方程和哪个参数方程类似？

【设计意图】引导学生理解这个方程为直线的参数方程，其中t为参数。并且能够区分直线参数方程和圆的参数方程，，体会参数的重要性．

2

【新知应用】

例1.若直线l过点M(1,2)，斜率为-1，求直线l的参数方程

2sin2

解：设直线l上一点M(x,y)，且倾斜角为，由：tan1,得cos222tx12直线的参数方程为(t为参数)

y22t2x1+t

变式：若直线的参数方程（t为参数），和例1中的直线l是否为同一直线？y2t

【设计意图】让学生能够求简单的直线的参数方程，设计变式能够让学生区别直线参数方程的标准与非标准形式。为参数t的几何意义作准备。

③

参数t的取值范围是什么？

教师提问后，让学生思考并回答问题: t0,表示点M在点M(x0,y0)上方;t0,表示若点M与点M(x0,y0)重合; t0,表示若点M在点M(x0,y0)下方.

④

数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？

教师提问后，让学生思考并回答问题．

教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：

OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OMtOA；

问题1：若点M对应的实数为t，则OMtOA；

问题2：若OMtOA；则点M对应的实数为t .

【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为理解直线参数方程几何意义做准备．

xx0tcos⑤

若将直线l:,看作以M0为坐标原点，方向与e相同，单位长度yy0tsin

3

为|e|的数轴，请问点M(x,y)在这个数轴上对应的实数是多少？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l上的定点M0为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．

⑥

实数t的几何意义是什么？

|M0M||t|,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M 到定点M0的距离; t的几何意义是有向线段OM的数量。

xx0tcos探究：直线  （t为参数）与曲线yf(x)交于M1,M2两点，对应的参数yytsin0分别为t1,t2．

（1）曲线的弦M1M2的长是多少？

（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：

tt（）1M1M2t1t2，

（2）t12

2【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

三、运用知识，培养能力

例2.已知直线l:xy10与抛物线yx2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A,B两点的距离之积．

先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：

xy10解法一：由2yx，得x2x10(*)．

设A(x1,y1)，B(x2,y2),由韦达定理得：x1x21，x1x21．

AB1k2(x1x2)24x1x22510．

由（*）解得x11515，

，x2223535．

，y2224 y1

所以A(15351535,)，B(,)．

2222则MAMB(115)2(235)2(115)2(235)2

2222353542．

3解法二：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程是

432x1tcosx1t42 （为参数） （t为参数）， 即．

t3y2tsiny22t42把它代入抛物线的方程，得t22t20，（1）

解得t1210210，t2．

22由参数t的几何意义得：ABt1t210，

MAMBt1t22．

（老师提出问题：是否需要计算出t1，t2的值？）

3解法三：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程是

432x1tcosx1t42 （t为参数）， 即 （t为参数）．

y2tsin3y22t42把它代入抛物线的方程，得t22t20，（1）

解得t1t22，t1t22．

由参数t的几何意义和弦长公式得：ABt1t2(t1t2)2(t1t2)24t1t210，

MAMBt1t22．

在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．

【板书】例3的第二种解法。

5

x1t思考1：由例2可知方程

(t为参数)也为直线l的参数方程，若将该方程代入与抛物y2t线方程联立，可否得到相同的结论？．

x1t解：把方程，

(t为参数)把它代入抛物线的方程yx2，得t2t10（2）y2t解得t1t21，t1t21．

A'B't1t2(t1t2)2(t1t2)24t1t25MA'MB't1t21．结论不正确。

2x1tx1t2(t为参数)都为直线l的参数方程，这两个思考2：由方程

(t为参数)和y2ty22t2方程之间有何区别与联系？

2x1(2t)x1t2解：由方程(t为参数)

可等价变换为(t为参数)，

y2ty22(2t)22x1t'x1t2该方程为直线直线l的标准参数方程，令t'2t，得到(t为参数)y2ty22t'2故若将（2）式中的t换为t'得到：t'22t'20与（2）式相同

22MA'2MB'2t1t22

于是：由t'2t得到|AB|2A'B'，MAMBxx0at思考3：若将直线的参数方程为，与曲线yf(x)交于M1,M2两点，对应的参数yybt0分别为t1,t2，曲线的弦M1M2的长是多少？

先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：M1M2a2b2t1t2，

五、归纳总结，提升认识 先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在

学生总结的基础上再进行概括．

1．知识小结

本节课联系向量知识，推导出了直线的参数方程，并通过数轴加深学生对参数的理解，同时进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．

6

2．思想方法小结

在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．

【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．

六、布置作业，巩固提高

1. 教材练习册P28-29 ；

32. 思考题：若直线l过点P(1,1)，斜率为-，求直线l的参数方程.. 4【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．

七、板书设计

直线的参数方程

1.直线的参数方程

3.例题分析

2.弦长公式

教案设计说明

本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．

本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，在教学中采用复习直线的方向向量，通过直线倾斜角和直线的方向向量都能够确定直线的方向这个共同特征，从而得到直线的单位方向向量，再引导学生找到直线上两点所构成的向量与单位方向向量共线，于是找到参数t。为了让学生参数的几何意义，教学中采用数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t表示，因此可以选择坐标t为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t与坐标x0,y0及倾斜角之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．

在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．

本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．

M0Mt

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