[本专题的学习总结报告]优质课教案

课题：

参

数

方

程

一、教学目标：

知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题

过程与方法：选择适当的参数方程求最值。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

[来源:学科网ZXXK]

二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。

教学难点：正确使用参数式来求解最值问题

三、教学模式：讲练结合，探析归纳

四、教学过程：

（一）、复习引入：[来源:学科网]

通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。

（二）、讲解新课：

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形通过消去参数

从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变量x，y中的一个与参数t的关系，例入普通方程，求出另一个变量与参数的关系y＝g(t)，那么曲线的参数方程．

点的轨迹

椭圆

普通方程

x2y22＋2＝1(a＞b＞0)

ab22参数x＝acos φ，y＝bsin φxy双曲线

2－2＝1(a＞0，b＞0)

ab抛物线

ax＝，cos φy＝btan φy＝2px(p＞0)

22x＝2pt，y＝2pt

3．设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A，B两点x＝x0＋tcos α，方程为(t为参数)，注意以下两个结论的y＝y0＋tsin α－t2|；(2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.(t1，t2分别为A，B两点对应的

2．常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹

直线

圆

普通方程

y－y0＝tan

α(x－x0)

x＋y＝r

222参数x＝x0＋tcos αy＝y0＋tsin αx＝rcos θ，y＝rsin θ

|题型一|

参数方程与普通方程的互化及应用

[高考分析]

参数方程与普通方程的互化是每年高考极坐标、直线与圆锥曲线的位置关系综合考查，属于基

x＝1＋1t，2

(1)将曲线C的参数方程(t为参3y＝2＋t23x－y＋2－

＝0

；

x＝t＋1，t(2)将曲线C的参数方程(t为参数)化成普1y＝－tt＝4

；

[变式训练]

(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOx＝1＋1t，2参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为3y＝t2数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的

2y2解析

椭圆C的普通方程为x＋＝1. 4x＝1＋1t，22y2将直线l的参数方程代入x＋＝1，得43y＝t221616即7t＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－.∴AB＝|t1－t2|＝77

[变式训练]

1．(命题角度1)(2016·全国Ⅲ卷)在直角x＝3cos α，线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原y＝sin α的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方22. (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值坐标．

x2解析

(1)C1的普通方程为＋y＝1，C2的直角坐30. 2(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α)．的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，

|3cos α＋sin α－4|d(α)＝

2＝

π2sinα＋－2. 3

π当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最6P

31的直角坐标为，. 2216.(10分)(2018·济南一模)在直角坐标系xOy中，过x＝1＋1t，2的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极3y＝2＋t2为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；1(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点，求＋|PM|

x－1＝1t，2解析

(1)由已知得

3y－2＝t，2消去t得y－2＝3(x－1)，

∴化成一般方程为3x－y＋2－3＝0，

即l：3x－y＋2－3＝0. －2)＝4，

即C：x＋(y－2)＝4. 222由曲线C：ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝

x＝1＋1t，2(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入曲3y＝2＋t2程中得：

12t＋1＋2322t＝4，即t＋t－3＝0. 2

t1＋t2＝设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t2＝－t1·|PM|＋|PN||t1|＋|t2||t1－t2|11∴＋＝＝＝

|PM||PN||PM|·|PN||t1·t2||t1·t2|（t1＋t2）2－4t1·t213＝＝. 3|t1·t2|

2．(命题角度2)(2018·银川一中二模)在直角坐标系x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲C：线ρsix＝－2＋2t，2过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为2y＝－4＋2t与曲线C分别交于M，N两点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

解析

(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)得(ρsin θ)2＝2aρc∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)．

x＝－2＋2t，2由(t为参数)，

2y＝－4＋2t消去参数t得直线l的普通方程为y＝x－2. x＝－2＋2t，2(2)将直线l的参数方程(t为参数)代2y＝－4＋2tt2－22(4＋a)t＋8(4＋a)＝0. ＝8(4＋a)．

2设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则有t1＋∵|PM|·|PN|＝|MN|2，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t∴a＝1.

即8(4＋a)＝40(4＋a)，解得a＝1或a＝－4(舍去)，

命题角度2

直线参数方程的应用

(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，x＝2cos θ，x＝1＋tc为(θ为参数)，直线l的参数方程为y＝4sin θy＝2＋tsi(1)求C和l的普通方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，x2y2解析

(1)曲线C的普通方程为＋＝1. 416当cos α≠0时，l的普通方程为y＝tan α·x＋2－tan当cos α＝0时，l的普通方程为x＝1. (2)将l的参数方程代入C的普通方程，整理得关于t＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.

①

∵曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，

∴①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0. 4（2cos α＋sin α）又由①得t1＋t2＝－，

21＋3cosα故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝