测试教学设计

第六章复习《实数》

一、复习的范围：（P40-62) 二、学习目标：

1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；

2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；

3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，掌握实数的相反数和绝对值的意义；

4．理解实数与数轴上的点一一对应，理解有理数的运算律适用于实数范围．

教学重难点：

1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；

2．算术平方根的意义及实数的性质．

三、教学过程

基础知识回顾：

1、有理数

(1) 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。

(2) 无限循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。例如：

0.333 …，

5.32727 …等等。

2、无理数

（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数。

（2）无理数的特征：

1)无理数的小数部分位数不限；

2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。

3、实数

（1）实数的分类：

（2）实数的性质：在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义，和在有理数范围内是一样的。数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。（实数与数轴上的点一一对应。）

（3）实数大小比较的方法：

1）有理数大小的比较法则在实数范围内同样适用，即：

法则1：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。

法则2：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小。

2）平方比较法。

3）作差比较法。

（4）运算：有理数的运算法则，运算顺序，运算性质在实数中同样适用。

通过提问构建知识网络

1、数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？

2、回顾平方根，立方根的概念，乘方运算与开方运算有什么关系？

3、无理数和有理数的区别是什么？

4、实数有哪些数组成？实数与数轴上的点有什么关系

一．主要知识点：

【算术平方根】：

1.如果一个正数x的平方等于a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2.算术平方根的性质：具有双重非负性。

例1.

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（提高题）如果x、y分别是(4－√11)的整数部分和小数部分。求x－y的值. 【平方根】：

1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；我们称x是a的平方根，

2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数；当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数；而平方根具有两个互为相反数的值。

例2.

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【立方根】

1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3. 播放PPT做练习题

【无理数】

1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数；无理数也不一定带根号。

2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4.

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【实数】

1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。

例5.

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四、学习本章存在的问题：

这一章知识点少，考点较多，

变化较多。

①算术平方根，平方根与平方的互逆关系学生有不适应的地方，实际上逆向思维本身就有一定难度。

②算术平方根的非负性，对它的符号的理解与接受有一个过程，不能一蹴而就，需要积累大量的经验而逐步理解。

③平方根与平方不是一对一的数字往来，无形中增加了思维的跨度。负数没有平方根，学生接受起来有一定难度。

④学生对于正数开平方会有两个结果感到不习惯，容易将算数平方根和平方根混淆。

⑤实数的概念是一个构造性的定义，比较抽象，学生真正理解这个概念有一定困难。

⑥实数的分类因为名称杂乱，学生极易将数据分错，如无理数与正数，自然数与整数，小数与分数等。

⑦ 实数的相反数，绝对值，倒数等概念应用广泛，在众多题型中，

字母表示的题型难度较大，有较多的不确定的因素在里面，易出错。

五、教学效果

通过本章复习，以数学知识为载体进行“思维的教学”，学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究过程和方法，学会发现，学会归纳、概括，逐步提高思考力。培养用数形结合、分类、类比的数学思想和方法来思考和处理问题。