三元一次方程组的解法2优秀教学设计

[专题]三元一次方程组解法举例教案

三元一次方程组解法 三元一次方程组的解法 x，y，z,12?, ,例1 .解方程组 x，2y，5z,22?, ,x,4y?, 发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.

解法1:消x ?-? 得 y+4z=10 . ? ?代人? 得5y+z=12 . ? yz，,410,?, 由?、?得 ,512.yz，,?, y,2,,解得 ,z,2., 把y=2,代入?，得x=8. x,8,, ,y,2,? 是原方程组的解. , ,z,2., 方程?是关于x的表达式，确定“消x”的目标. 解法2:消x 512,yz，,?,由?代入??得 ,6522.yz，,?, y,2,,解得 ,z,2., 把y=2代入?，得x=8. x,8,, ,y,2,? 是原方程组的解. ,

,z,2., 【方法归纳】 类型一:有表达式，用代入法. 针对上面的例题进而分析，例1中方程?中缺z,因此利用?、?消z,可达到消元构成

二元一次方程组的目的. 解法3:消z ?×5得 5x+5y+5z=60， ? x+2y+5z=22， ? ?-?得 4x+3y =38 ? xy,4,?,由?、?得 ,4338.xy，,?, x,8,,解得 ,y,2., 把x=8,y=2代入?，得z=2. x,8,, ,y,2,? 是原方程组的解. , ,z,2., 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为: 类型二:缺某元，消某元. 三、典型例题讲解

例1、解方程组

分析: 方程?是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，

因此确定“消x”的目标( 解法1: 代入法，消x.

把?分别代入?、?得

解得 把y,2代入?，得x,8.

因此三元一次方程组的解为 观察方程组进行分析，方程组中的方程?里缺z，因此利用?、?消z，也能达到消元构成二元一次方程组的目的( 解法2:消z. ?×5得 5x，5y，5z,60 ? ?,? 得4x，3y,38 ?

由?、?得

解得 把x,8，y,2代入?得z,2.

因此三元一次方程组的解为 点评:

解法一根据方程组中有表达式，可用代入法消元.解法二根据方程组中?缺z元，可由??消去z元得关于x，y的方程组. 例2、解方程组.

分析: 通过观察发现每个方程未知项的系数和相等;每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等(具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解( 解: 由?，?，?得4x，4y，4z,48， 即x，y，z,12 .? ?,?得 x,3， ?,?得 y,4， ?,?得 z,5，

因此三元一次方程组的解为

小结:轮换方程组，采用求和作差法.

例3、解方程组

分析1: 观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x?y,1?2得y,2x; 由x?z,1?7得z,7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即

，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解( 解法1: 由?得y,2x，z,7x ，并代入?，得x,1. 把x,1，代入y,2x，得y,2; 把x,1，代入z,7x，得 z,7.

因此三元一次方程组的解为 分析2: 由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程?x:y:z,1:2:7，可设为x,k，y,2k，z,7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得( 解法2: 由?设x,k，y,2k，z,7k，并代入?，得k,1. 把k,1，代入x,k，得x,1; 把k,1，代入y,2k，得y,2; ，得 z,7. 把k,1，代入z,7k

因此三元一次方程组的解为 小结:遇比例式找关系式，采用设元解法.

例4、解方程组 分析: 对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点:一是确立消元目标——消哪个未知项;二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”(

解: ?，? 得5x，2y,16，? ?，? 得3x，4y,18，?

由?、?得

解得 把x,2，y,3代人?，得 z,1.

因此三元一次方程组的解为

小结: 一般选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元;或选择同

一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元( 1. 例5、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2?3，

三种球共41个，求三种球各有多少个, 分析: 设篮球数为x个，排球数为y个，足球数为z个，分析题中存在的相等关系:

?篮球数,2×排球数,3，即x,2y,3; 3，即z?y,2?3; ?足球数:排球数,2? ?三种球数的总和为41个，即x，y，z,41. 解:设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，

依题意，得

解这个方程组，得 答:篮球有21个，排球有12个，足球有8个.