*5 一元二次方程的根与系数的关系教案板书设计

北师大版九年级数学上册教学设计

课题

一元二次方程根与系数的关系

总课时数

备课时间

授课时间

2019.4.10 授课教师

李春明

教学目标

知识与技能目标：借助一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，求参数的值或范围

过程与方法目标：经历借助一元二次方程根与系数的关系解决问题，培养学生总结概括能力，渗透转化思想、方程与不等式思想。

情感态度与价值观目标：经历自主探究、小组讨论解决问题，提升学习数学自信心，发展团队合作意识. 教学重点

借助一元二次方程根与系数的关系求代数式的值

教学难点

借助一元二次方程根与系数的关系求参数的值或取值范围

教学方法

合作探究

教学工具

课型

复习课

课时数

本案课时

第课时

教学过程

备注（方法、工具、时间、效果等）

第一环节：温故知新

设计意图：几个简单的小题检查活动内容：请学生回答预习案三个题目，老师引导学生进行知识梳学生对前面基础知识的掌握情理，并且引出新课。

况。

1,解下列一元二次方程：

学情预设：个别学生不能选择合（1）x2-2=0 （2）x2-x-3=0 （3）2x2-x-3=0

适的方法解一元二次方程。

解析：（1）x处理办法：请其他同学总结概括12,x22

解一元二次方程常见的方法。

设计意图：2、3两个小题引出 （2）x11312,x11322

新课内容，引发学生思考。这两个问题比较基础，给学生学习数 （3）x312,x21

学的信心。

2,一元二次方程x2-3x=2的两个根为α、β，不解方程求下列各式学情预设：第2题中没有将一元的值

二次方程化简为一般式；第3题（1）α+β （2）αβ

中学生将1、3代入到方程中，解析：（1）3 （2）-2 得到关于p、q的二元一次方程3，一元二次方程x2-px+q=0的两个根是1和3，则p=____,q=______. 组. 解析：p=4，q=3

处理方法：第2小题“易错点”让学生找，，第3小题让学生经过比设计意图：第1小题是基础题，较得到借助根与系数的关系的优越性. 多部分学生能够正确得到第二环节：应用探究一，求代数式的值

α2+β2=（α+β）2-2αβ. 活动内容：请学生独立完成，思考题请学生给出代数式，并简述化渗透转化思想. 简过程。老师课件出示常见的含两根的对称代数式。

学情预设：学生能够正确对代数1.α、β是x2-2x-1=0两根，求α2+β2的值

式进行化简，但缺少提出问题的解析：α+β=2；αβ=-1.α2+β2=（α+β）2-2αβ=6 思维活动. 思考：解这类题的关键是将代数式用含α+β以及αβ的代数式表

示，那么常见的含两根的对称代数式有哪些？

处理方法：鼓励学生提出问题，老师课件出示常用的含两根的对称

代数式.

11αβ

形如α+β、αβ、α2+β2、（α-β）2、α4+β4、αβ、βα

等设计意图：第2小题分析的是含常见结构对称的代数式，可化简后借助根与系数的关系求值。

两根不对称的代数式，从对称到2.x2-3x-5=0的两根为α、β，求

α2+2β2-3β

的值. 不对称，发展学生的逻辑思维能解法一：

力. ∵β是x2-3x-5=0的一个根

学情预设：学生想将表达式化简∴β2-3β-5=0 为含两根的对称式，但是不得α2+2β2-3β

解.经过仔细分析，一部分学生=α2+β2+β2-3β

能将表达式化简为两部分：一部=（α+β）2-2αβ+β2-3β

分为对称式；一部分为不对称=32-2×（-5）+5 =24 式.大部分学生想不到用“降解法二：

幂”. ∵x2-3x-5=0的两根为α、β

处理方法：老师引导学生发现解∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0 法一中的另一部分代数式与方∴α2=3α+5，β2=3β+5 程的根有关.老师课件出示“降∴α2+2β2-3β=3α+5+2（3β+5）-3β=3（α+β）+15=24 幂”法. 变式训练：x2-3x-5=0的两根为α、β，

学情预设：个别学生求解仍有困则α2-6α-3β+αβ=_______. 难. 答案：-9 处理办法：学生独立完成变式训设计意图：及时巩固所学，使得学生能够求含两根不对称的代数式练，老师巡视，对个别学生进行

的值. 辅导. 3,m22m1,n2352n1,求nm设计意图：构造法是数学常用的mn的值.

方法，本题是构造新的一元二次分析：因为m、n同时满足x2-2x-1=0，所以m+n=2，mn=-1.①m≠n方程，发展学生解决问题的思时，

路，锻炼学生逻辑推理能力. nmm2n2mn22mnmnmnmn6学情预设：个别学生会想到分别②m=n时，原式=2. 解关于m、n的方程然后代入代处理方法：经过小组讨论，多数小组能够列出m、n满足的一个一元数式求值；一部分学生不能正确二次方程，进而得到代数式的值为-6.再请学生继续讨论另外一种情列出m、n满足的一个一元二次况.经过老师引导，学生得到当m≠n时原式=-6；当m=n时，原式=2 方程，大部分学生想不到m=n的第三环节：应用探究二，求参数的值或者取值范围

情况. 1.5x2+kx-6=0一根是2，

学情预设：一部分学生将2代入则另一根为_____,k=______. 到方程中求解k的值，再求另一解析：另一根为 ； k=-7 个根；一部分学生能想到先借助处理方法：请两个学生口述各自的方法. 韦达定理求出另一个根，再由两设计意图：从已知方程一个根求参数的值入手，学生易于接受. 根之和求k值。

2.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-2=0.若方程的两个学情预设：大部分学生能够得到

实数根为α、β，且（α-β）2+m2=21，求m的值. m=2或-6，没有考虑到△≥0. 分析：因为方程有两个实数根，所以解△≥0得 m9设计意图：已知方程两个根的关4，又因为α+β=-（2m+1），αβ=m2-2，将（α-β）2+m2=21转化为关于m的方系式求参数的值属于易错题，容程m2+4m-12=0，解得m=2或-6，综上所述m=2. 易忽视△≥0而导致错误. 处理方法：请学生独立完成，多数学生得到m=2或-6，个别学生会

提出质疑.再让学生小组讨论后小组代表做总结性发言. 学情预设：学习了第2小题，多变式训练,关于x的方程2x2-2x+1-3m=0两实数根为α、β，若αβ+2数学生能够正确求出m的取值（α+β）>0，则m取值范围是_____. 范围，个别学生计算不准确. 分析：由△≥0得 m1β+2（α+β）>0转化为关于6，因为α+β=1，αβ可用m表示，所以α设计意图：及时巩固所学. m的不等式，解不等式得 m＜5

3， 综上所述，15

6m＜3

处理方法：学生独立完成，老师巡视，对个别学生进行指导.最后学设计意图：及时的总结，学生学生共同回答m的范围. 习情况能够得到反馈. 第四环节：题型小结、归纳

学情预设：个别学生不知道如何给学生两分钟时间整理应用探究一，应用探究二.与同伴交流、分享. 整理，认真倾听小组成员介绍经第五环节：当堂检测

验. 1，x2+3x+1=0两根α、β，则（1+α）（1+β）=_________. 设计意图：当堂检测使学生及时2,一元二次方程x2-2x=2009的两个根为α、β，则巩固所学，老师得到学生学习情α2+3α+5β=________. 况的反馈，及时调整授课思路. 3.

已知2a2+3a-7=0，2b2+3b-7=0，a≠b.求a2+b2的值. 当堂检测参考答案：1，-1 4.x2+（m+3）x+m+1=0的两个根α、β，

2,2019 ； 3，37 ；

若 2282，则m的值为（ ）

4，D 4A.1或3 B.-3 C.1或-3 D.1 5，-1或0或1 5，已知kx2+（2k-1）x+k-1=0只有整数根，其中k为整数，求k的思考题：71值。

36

思考题：α、β是x2+x+m-2=0的两个实数根，

则（α-2β）（β-2α）的最大值为_______.

第六环节：当堂小结

处理方法:引导学生谈一谈本节课所学内容，从知识方面入手，过渡

到对数学学习的信心，情感态度等方面，鼓励学生大胆说出疑惑. 设计意图：总结+反思=成长，每第七环节：布置作业

一节课都要及时做总结，师生相全员必做：基础过关

长. 选做题：满分训练

板书设计：一元二次方程根与系数的关系

一，求代数式的值

1，结构对称

2，结构不对称

3，借助新一元二次方程

二，求参数的值或取值范围

第一步：转化

第二步：求解

第三步：检验

教学反思：