*5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计一等奖

理科教研组集体备课教案

第二章

一元二次方程

课题

2.5 一元二次方程的根与系数的关系

1、理解掌握一元二次方程ax+bx+c=0

(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

2教学目标

教学重点

教学难点

教学用具

教学方法

根与系数的关系及应用。

定理的发现及应用。

小黑板等。

讲授法、推理法、练习法

教学过程

教学内容

第一环节：复习回顾

内容：

1、一元二次方程的一般形式？

以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。

备注

ax+bx+c=0

(a≠0)（板书） 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？

(△=b-4ac≥0)

3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？

4、一元二次方程的求根公式是什么？

22

1

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通过游戏入手，激发学生学习兴趣。

内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？ 22第二环节：情景引入

（1）x+3x+4=0 （2）6x+x-2=0 （3） 2x-3x +1=0

2

本环节采用“实践第三环节：探究新知

内容：

计算填表（验证第一环节游戏的结果）

方程

x+3x+4=0 6x+x-2=0

2x-3x +1=0 222——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元

x1

x2

问题：

1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？

2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？

3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

ax2+bx+c=0

(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关2

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系：____________。

4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）

第四环节：尝试发展

尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积

尝试题1”是引导学（方程两根为x1，x2、k是常数）

生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关（1）2x2-3x-1=0

x1+x2= ________

x1x2= ________

系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题（2）3x2+5x=0

x1+x2= 是起过渡作用设计。

“尝试题2” 将平方和、倒数和及差转化为________

x1x2= ________

（3）x2+7x=-6

x1+x2= 两根和与积的代数式。例如：

_________

x1x2= _________ （4）5x+kx-6=0

x1+x2= _______2x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;

“尝试题3”

展示学生的不同作法，通过__

x1x2= _________ （学生迅速演算或口算）

尝试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的

比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解3

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（1）平方和

（2）倒数和

（3）差

2决此类问题比较简便。

尝试题3：已知方程6x+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。

第五环节：拓展创新

1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。

2、变式训练：

已知三角形的两边长a、b是方程x-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？

3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.

第六环节 感悟与收获

内容：师生互相交流总结

2

第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。

第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样性及其中的规律

在方程ax+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

2

鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为获，解题技能方面有哪相反数；

些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识4

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③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=

，纳入到学生个人已有的知识体系中。

x1x2= ⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

第七环节：布置作业

作业：P50-P51习题

板书设计：

课后反思：

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