三元一次方程组的解法2优质课一等奖

《三元一次方程组的解法》教学设计

教学目标

1 、知识与技能

（

1 ）了解三元一次方程组的概念；

（

2 ）会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”，进而化为“一元”方程

来解决；

（

3 ）能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。

2 、过程与方法

让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”、“加

减”消元的方法。

3 、情感态度价值观

让学生感受把新知识转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题

转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法。

教学重难点

重点：

灵活运用代入法、加减法解三元一次方程组。

难点：

针对方程组的特点选择最佳解法。

教学过程

一、

新课引入：

前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法。有些有两个未知数

的实际问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，比

如，有三个未知数，我们就要列出三元一次方程组来解决。那么三元一次方程组的定义是

什么？又怎样解三元一次方程组？这就是我们本节课的学习内容。

二、

研读课文

阅读教材第103至105页，完成下面练习并体验知识点的形成过程

xyz12，①解方程组x2y5z22，②

x4y.③问题：(1)你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗？

(2)你能解出上面的二元一次方程组吗? (3)如何求方程组中第三个未知数的值？

(4)总结解三元一次方程组的基本思路. (学生通过观察方程组特点，结合上面问题独立思考后写出消元方案，然后分组交流、互相讨论后归纳出三元一次方程组的解法步骤)

解法一：把方程③分别代入①②，得4yyz12，

4y2y5z22.解这个方程组,得y2,

z2.把y=2，z=2代入③，得x=8. x8,因此,三元一次方程组的解为y2,

z2.解法二:①×5-②,得4x+3y=38，④

③与④组成方程组,得x4y,

4x3y38.解这个方程组,得x8,

y2.把x=8,y=2代入①,得z=2. x8,因此，三元一次方程组的解为y2,

z2.三、

探究新知

出示引入问题：小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张. 1.题目中有几个未知数，你如何去设？

2.根据题意你能找到等量关系吗？

3.根据等量关系你能列出方程组吗？

请大家分组讨论上述问题.(教师对学生进行巡回指导) 学生成果展示：

1.设1元，2元，5元各x张，y张，z张.(共三个未知数) 2.三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍. xyz12,①3.上述三种条件都要满足，因此可得方程组x2y5z22,②

x4y.③师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一

共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

(学生小组交流，探索如何消元) 可以把③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元一次方程组了：4yyz12,5yz12,即

4y2y5z22,6y5z22.解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x. x8,解得y2,

z2.教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 即

例题解析

3x4z7,①②

例1

解三元一次方程组2x3yz9,?5x9y7z8.③(让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生演板后比较) 解：②×3+③，得11x+10z=35.④

①与④组成方程组x5,3x4z7,解得

z2.11x10z35.1. 3把x=5，z=-2代入②，得y=

x5,1因此，三元一次方程组的解为y,

3z2.此方程组的特点是①中不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理.反之用代入法运算较繁琐. 例2

在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值. (师生一起分析，列出方程组后交由学生求解) abc0,①解：由题意，得三元一次方程组4a2bc3,②

25a5bc60.③②-①，得a+b=1，④

③-①，得4a+b=10.⑤

④与⑤组成二元一次方程组ab1,

4ab10.解得a3,

b2把a=3，b=-2代入①，得c=-5. a3,因此b2,

c5.四、

课堂小结

解三元一次方程组的基本思路是：

消元，常用方法有代入法与加减法.即通过“代入”或“加减”进行消元，把“___元”化为“____元”，使解_________方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程.