猜想、证明与拓广教案（名师）

《课题学习——猜想、证明与拓广》教学设计

西安汇知中学

孙泉

一、设计思路

《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）课题学习的内容，教材以两个具体的几何议题（“倍增”和“减半”图形存在性问题），创设了问题情景，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法。本例涉及第一课时“倍增问题”。

本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想——启发诱导，数学证明——分组讨论，合理拓广”为主的教学方法．不断经历猜想、判断、证实或修正，综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识，由特殊到一般地探索与发现的过程，让学生在“做”中“学”，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法。

教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，鼓励主动参与、积极思考、让每位学生都获得成功的体验；关注学生活动过程，包括是否能：发现

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新问题、尝试从不同角度思考，善于归纳总结等。

在学习方法上，应充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜想、进行小组讨论和交流、师生共同归纳总结，体验学习的过程。

二、教学目标

（1）知识与技能目标：探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题．

（2）过程与方法目标：经历猜想、证明、拓广的数学思考过程，体验相应的数学思想方法，发展学生的推理能力；并在解决问题的过程中综合应用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．

（3）情感态度价值观：通过反思自己及同伴解决问题的过程，使学生提出问题的能力得到发展并在求解相应的“问题串”中，使学生体会到不同数学领域之间的联系．

三、教学重点、难点

重点：探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径．

难点：从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式、函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．

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四、教学程序及设想

教学程序

教学设计

介绍相关数学文化背景：

(1)

华罗庚教授曾举过一个用历史中著名的数学问题和事件引起学生设计意图

例子(诱发学生思考)；

(2)

数学文化

世界数学三大猜想：费马学习兴趣，使课堂气氛猜想、四色猜想、哥德巴赫活跃，提升学生探索未猜想；

(3)

知问题的积极性，同时尺规作图三大难题：化圆引出本课问题——猜为方、倍立方体、三等分任想、证明与拓广。

意角；

数学问题1：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它．．的周长和面积分别是已知正方以递进的问题方式引形的2倍？

发学生思考，让学生产(鼓励学生大胆猜想、对研究的生强烈的问题意识，使问题提出

问题发表见解，进行探索、合作学生的整个学习过程与交流，对学生涌现出多样化的成为由知识与经验，同解题思路，及时予以引导、归纳化和索引出当前学习和总结) 得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题……

3 的新知识．

教学程序

教学设计

(教师启发)：由正方形的倍增问题，你能生成什么样的猜想？

(鼓励学生大胆猜想、对研究的设计意图

让学生感知到我们不问题发表见解，进行探索、合作仅解决了问题,而且学猜想探究

与交流，对学生涌现出多样化的会多种方式多种途径解题思路，及时予以引导、归纳思考问题,发散思维. 和总结) 得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题……

问题2.1：任意给定一个正方

形，是否存在另一个正方形，它

的周长和面积分别是已知正方鼓励学生大胆提出问形周长和面积的3倍？

学生尝试、发现、验证……

能力拓展

问题2.2：（矩形倍增）

的认识冲突，促使学生任意给定一个矩形，是否存在另重新审视，认真探究

一个矩形，它的周长和面积分别

是已知矩形周长和面积的2

倍？

题，教师启发分类总结。凸现类比的数学思想方法，以类比引起新

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教学程序

教学设计

矩形的形状太多了，我们如何来探索问题2呢？

问题2.2：（具体化）

设计意图

总结出探究问题的方法：从特殊到一般

如果已知矩形的长和宽分别为

2和1，3和1，3和2，结论会

怎样？

你是怎么做的？与同伴交流。

该环节留给学生充分思维的时

间，四人小组讨论探究，发散思

维，解决问题。并在全班交流。

解决的方式很多：如试值法、一

元二次方程，二元一次方程组，体现数学建模在探究函数……

过程中的作用，体会“数形结合”，“转化”给学生充分的自由度，分组任意等思想方法，拓展学生设定一组数据完成探索，方法自的思维空间。

选；

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教学程序

教学设计

设计意图

前面将问题特殊化后，在解决时积累了不少宝贵经验和方法，此时再将一般问题作为研（2）若已知矩形的长和宽分别究对象，符合一般认知为m和n，是否有相同的结论？

规律，由于此问题涉及

思维升华

将问题转化为方程或方程组有一元二次方程还要讨无解的情况加以探究，使猜想得论mnm2n2是否到验证。

大于0的问题，对于多数学生来说会产生一定的困难，采用师生共析或告知的方式，使学生理解．

引导学生从过程和知能等方面（1）知识性内容的小作总结

学法指导

独立思考，全班交流

识尽快化为学生的素质；（2）数学思想方法结，可把课堂传授的知到解含有字母系数的

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教学程序

教学设计

设计意图

的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质分发“课题学习记录卡”，

目标；

（3）记录卡既可以用学生课余填写记录卡

于教师课后了解学情，使得小组活动可以得到落实，又可以为学生进一步作课后的拓广和交流提供条件．

学生根据结论进一步猜想，提出新的问题；

天天向上

教师引导、鼓励学生生成新的猜“猜想——验证——想；

7 帮助学生掌握研究问题的科学方法，体验结论”的思维模式.

五、评价建议：

由于问题解决需要综合运用有关知识和方法，教师在教学中应更多地关注学生参与活动的情况，包括是否积极思考，及时总结和主动交流，关注学生活动过程中思考了多少，包括能否发现并提出新的问题，能否从数学的角度考虑问题并尝试从不同角度分析和解决问题，是否善于进行归纳总结，不宜以是否获得最终答案为唯一标准．

也就是说：我们关注的是过程，而不是结果．另外，由于问题具有开放性，不同学生可提出不同的要求标准．以鼓励为主，以促进学生发展为目的，给学生更多的展示自己的机会，发挥评价的教育功能．

六、教学反思：

本节课的两个议题均依照“问题情境-----猜想----验证----发现规律----证明----拓广”的方式展开，使学生体验“数学化”的进程．在探索过程中着重有计划的渗透处理问题的策略和方法．数学本来就是一个整体，许多不同知识之间有着密切的联系，因此，我们有必要设计一些教学活动，帮助学生形成良好的整体观．

一节课下来，我认为设计最成功的两个亮点在于：（1）引导学生两次对问题的结论进行猜想，第一次是在有关正方形的问题时猜想“是否存在”，这里学生只是停留在直觉猜想上，而第二次在有关矩形问题时，同样问了“是否存在”，我们可以看到，老师又问“你为什么要这样想？”时，学生已经经历了反思、借鉴和数学经验积累的过程；（2）引导学生在经历了一堂课的探究后提出一些新的问题．

在教学过程中，鼓励学生主动的从事观察、实验、猜想、验证、

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推理与交流活动，使学生了解不同的思考途径所带来的新的认识，更进一步适时的引导学生总结获得知识规律，解决问题的方法，并将它们上升到方法论的层面，如从不同角度思考问题的思维方式及学会积累生活的经验，善于反思等等.

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