猜想、证明与拓广优秀教学设计内容

课题：猜想证明与拓广（第一课时）

教学设计及说明

成都市第十七中学

曾宪

一、

内容解析：

《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）“课题学习”的内容。课堂围绕着中心课题--图形“倍增”，通过一系列具体的问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而提升自身解决问题的能力。

二、

教学目标：

1．

经历猜想、证明、拓广的过程，增强发现和提出问题的能力，以及对问题进行自主探索的意识，积累探索和发现的经验；

2．

在探究问题结论和论证结论正确性的过程中，综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识；

3．

在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想和方法，体会证明的必要性；

4．

在合作交流的过程中，拓展思路，发展推理能力。

三、

教学重难点：通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，感悟处理问题的策略和方法

四、

学情分析

九年级学生在经历了证明（一）证明（二）以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何

证明及探究的能力，而且也学习了一元二次方程、分式方程、方程组以及相似、反比例函数等知识。而我上课的这个班是学校的一个重点班，能力比较强，所以本节课的设计更倾向于学生自己的探索和研究。

五、

教学方法：启发式教学方法。

学习方法：独立思考、小组合作

六、

教学过程设计及说明

（一）课前准备

完成导学案上问题1、问题2 （二）教学过程

【第一环节】新课导入

播放提前准备的一个小视频

（1）设计意图：

用一个有意思的小视频调动学生的兴趣和积极性，让学生体会猜想有时候是不准确或者有争议的，所以不仅要能提出一个猜想，也要能证明它。

（2）反馈效果：

学生的兴趣被调动了起来。

【第二环节】作业展示交流

1．学生分享问题一“任意两个数的平方和与这两个数积的2倍哪一个大？”的方法

（1）设计意图：

意图一：这个问题其实不是一个很难的题，以现在九年级学生的情况比较容易有解题思路，但是这道题又很容易出现取特殊值不全面从而导致猜想不准确的情况，所以把这道题放在课堂的开始也是为了让学生再次体会证明的必要性。

意图二：这道题我设置了三问，三问回答完后自然地形成了一种数学的证明方法。

这样不仅可以让学生更好的体会由特殊到一般再到证明的过程，也可以引导学生重温特殊到一般就是一个“字母表示数”的过程。

意图三：后面矩形的“倍增”问题其实对处于九年级上学期的学生来说不是太容易的，如果没有取特殊值的意识研究起来还是比较困难的，所以在这里将这一点进行强化，为后续问题的解决做准备。

意图四：这道题的证明用到了比较大小最常用的方法--“做差比较法”，而后面证明mnm2n20也需要用到这个方法，这里为后续学生意识到这种方法做准备。

（2）反馈效果：因为是课前作业，所以在上课前我检查了学生做的情况，大多数做的还比较好，也是因为提前能够看到学生做的情况，所以在上课展示环节我特意选取了比较具有代表性的作业进行展示。

2．学生分享问题二“学校在搞基础建设，有一块地铺的正方形地砖有点小，容易损坏又不好清洁，周校长想把它换的大一点，这时曾经是数学老师的周校长就提出了这样一个问题：对于任意的一个正方形地砖，能不能让新换的正方形地砖周长和面积都是原来正方形地砖的2倍？”的解题方法

（1）设计意图：

意图一：这是课本中的一道题，比较简单，但是这道题的解决方法非常多，所以对这道题的探索即可以综合运用很多已学的知识，体会知识之间的联系，也可以加强学生在解决问题时的自信心。

意图二：因为正方形是矩形的特殊形式，所以这道题其实也在为后续提出和解决矩形“倍增”问题做铺垫

意图三：因为正方形倍增不存在，所以学生很容易误导得到矩形“倍增”也不存在的错误猜想，所以这里也可以进一步强化证明的必要性。

（2）反馈效果：

反馈一：这道题我设想有一部分学生会取特殊值先进行猜想，但是后来发现大多数学生都是直接设出了原正方形的边长，说明学生在解决问题的时候习惯直接从字母入手，缺乏通过取特殊值来降低难度，先体验过程再进行证明，由特殊到一般的证明习惯。

反馈二：因为是课前作业学生有较多的思考时间，所以提出的方法也比较多，其中有一位学生提出的图形法非常的具有新意。这节课我分别在两个班授课，但是两个班都没有提出相似的方法，说明学生在相似这一块的应用还不够熟练。

3．教师先模仿问题二提出教师的猜想，然后再由学生模仿提出学生自己的猜想，当学生提出矩形“倍增”问题时进入第三环节

（1）设计意图：

意图一：学生解决问题的能力很强，但是提出问题的能力比较

弱，所以在这里让学生自己尝试提出问题，锻炼学生提出问题的能力。 意图二：因为正方形是特殊的矩形，所以学生在这里也比较容易提出矩形“倍增”的问题，教师也可以在这里顺应进入下个环节。

（2）反馈效果：因为有老师的示例，所以学生提出问题还比较积极

【第三环节】探索研究

1．展示问题：如果是食堂前的矩形地砖呢？对于任意一个矩形地砖，能不能让新换的矩形地砖的周长和面积都是原来矩形地砖的2倍？

2．小组讨论（1分钟）

设计意图：如果直接让学生回答是否存在可能会有些仓促，所以这里设计了小组讨论，让学生先初步思考判断，但是因为题目较难，所以这里建议不给太多时间

3．学生分享讨论结果，教师引导指导

不管学生提出存在还是不存在，教师都要引导学生意识到研究任意性不容易而且也研究不完，从而使学生自己想到可以取特殊值来降低难度，然后再由特殊上升到一般情况

设计意图：这个班的学生程度较好，所以这里我设计让学生先分享自己的想法，如果学生的分享有问题这样教师在纠正学生的做法时也可以引导学生找到解题的思路

反馈效果：两个班上课情况是，其中一个班的学生提出矩形相似所以不存在，另一个班的学生虽然提出取长和宽分别为1和2的特殊情况，但是思维还是固定在相似。但是在经过老师的引导后大部分

学生还是比较容易找到思路。

4．由小组自己确定一个特殊值，体验求证过程

这里需要给出足够时间让学生自己探讨

5．教师引导学生用不同的方法解决该问题

若果在小组讨论中没有出现其他的证法，教师应引导学生找出不同的证法，如果在小组讨论中发现有学生采用不同的证法，可以直接展示

反馈效果：两个班的学生都提出了其他证法，意外的是有一个班的一个学生在第二天又提出了“周长固定，面积变化的连续性进行试值”的方法

宽

1 …

0.5 长

5 …

5.5 试值得出的面积

5 …

2.75

6．教师引导学生由特殊到一般，从而完成证明

这里只需要列出算式即可，具体解题过程可以留在学生课后完成

【第四环节】布置作业

1.任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？

2.阅读课本168页的读一读，体会不一样的证明方法

【第五环节】总结反思

教师引导学生进行总结反思（这里我应该先让学生举手说总结，然后再进行补充）

【第六环节】延续兴趣

播放准备好的关于黎曼猜想的一个新闻视频

（1）设计意图：

通过这个视频，给学生初步介绍了数学界非常有名的但是还未被证明的猜想--黎曼猜想，从而引发学生对数学界著名猜想的兴趣

（2）反馈效果：

部分学生第二天就来告诉我黎曼猜想竟然悬赏100万，说明学生在课后有去关注过黎曼猜想。