*5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计(第一课时)

*2.5

一元二次方程的根与系数的关系

【知识与技能】

掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．

【过程与方法】

经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想．

【情感态度】

通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．

【教学重点】

根与系数的关系及运用．

【教学难点】

对根与系数的关系的理解、推导及运用．

一、创设情境，导入新课

我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律．那么一

元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的滋味．

【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣、探究欲望．

二、合作交流，探究新知

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

一元二次方x1

x2

x1＋x2

x1·x2

程

x2＋6x－16

＝0

x2－2x－5＝

0

2x2－3x＋1

＝0

【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．

【归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1＝

－b＋b2－4ac－b－b2－4ac，x2＝，能得出以下结果：

2a2abcx1＋x2＝－，x1·x2＝. aa【教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程．

三、运用新知，深化理解

1．求下列方程的两根之和与两根之积．

(1)x2－6x－15＝0；

(2)5x－1＝4x2；

(3)x2＝4；

(4)2x2

＝3x. 513解：(1)6，－15；(2)，；(3)0，－4；(4)，0. 4422．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围；

(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

1解：(1)Δ＝b－4ac＝[2(k－1)]－4k≥0，解得k≤；

22221(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k，∴|2(k－1)|＝k－1，∵k≤，222∴k2－1＝－2(k－1)，

解得k＝3(舍去)或k＝－1. (让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积．) 3．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k

的值；

解：设方程的另一个根是x1，

6那么2x1＝－，

53∴

x1＝__－__，

5又x1＋2＝－，

5∴k＝__－7__．

4．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的(1)平方和；(2)倒数和．

解：设方程的两个根分别为x1，x2，

3那么x1＋x2＝__－__， 21x1x2＝__－__．

22(1)∵ (x1＋x2)2＝x21＋2__x1·x2__＋x2，

k13∴x＋x＝(x1＋x2)－2__x1·x2__＝____．

421222x1＋x2(2) ＋＝＝___3___．

x1x2x1·x211125．已知关于x的方程x－(k＋1)x＋k＋1＝0，且方程两实根42的积为5，求k的值．

解：∵方程两实根的积为5，

1Δ＝[－（k＋1）]2－4（k2＋1）≥0，4∴ 12x1x2＝k＋1＝5.43k≥2，得

k＝±4.∴当k＝4时，方程两实根的积为5. 6．已知关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根．

(1)求实数k的取值范围；

(2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

解：(1)Δ＝[ 2(k－1)] 2－4(k2－1)，

＝4k2－8k＋4－4k2＋4＝－8k＋8. ∵

原方程有两个不相等的实数根，

∴－8k＋8＞0，解得

k＜1，即实数k的取值范围是

k＜1. (2)假设0是方程的一个根，则代入得 02＋2(k－1)· 0＋k2－1 ＝ 0，

解得k＝－1或

k＝1(舍去)．

即当k＝－1时，0就为原方程的一个根．

此时，原方程变为

x2－4x

＝ 0，解得

x1＝0，x2＝4，所以它的另一个根是4. (目的是考查学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生了解到

根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性)．

四、课堂练习，巩固提高

课本随堂练习．

五、反思小结，梳理新知

不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．

(1)先化成一般形式，再确定a，b，c.

(2)当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．