*5 一元二次方程的根与系数的关系优秀教学设计

《一元二次方程根与系数的关系》教案

教学目标：

1.发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯. 2.探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神. 3.在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成. 4.体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路. 教学重点：

一元二次方程的根与系数的关系及简单应用. 教学难点：

一元二次方程的根与系数的关系的推导. 数学思考与问题解决：

通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、

引入新课

我们知道，方程的根是由一元二次方程ax2bxc0(a0)的各项系数a、b、c决2定的，我们还知道根是由b4ac决定其情况的.今天我们来研究方程的两根的和及两根的积与a、b、c有怎样的关系？

二、自学互研

探索发现

1、方程：x2+3x–4=0 （1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。

（2）解得方程的根x1=______ ，x2=______ 。

（3）则x1+x2=_______，

方程中

一次项系数（）

二次项系数常数项（）

(4) x1·x2=_______，

方程中

二次项系数2、方程3 x2+x-2=0 （1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。

（2）解得方程的根x1=______ ，x2=______ 。

（3）则x1+x2=_______，

方程中

一次项系数

（）二次项系数比一比，你发现了什么呢：__________________________________ 教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；分小组汇报自学成果。

设计意图：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。

三、合作求证

生成新知

1.根据以上规律，若ax2+bx+c=0

(a≠0) 的两个根为x1和x2，则x1+x2=_______，

x1·x2=_______。

2.这是不是一个普遍规律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？请用一元二次方程的一般形式证明：(b2-4ac≧0) ∵

x1=bb24acbb24ac

x2=

2a2a∴x1+x2= ∴x1·x2=

教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；鼓励学生参与合作学习，调动学生合作交流的主动性和积极性。

学生小组合作完成，通过推导证明前面的结论；实现一元二次方程的根与系数的关系感性认识到理性认识的转变；小组长检查小组成员完成情况后，两小组交换检查推导过程；分小组汇报合作学习成果。

设计意图：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的证明过程，即理性认识过程。让学生自己发现问题、探求规律，两从理论角度加以验证，经历从特殊到一般的科学探索过程，培养学生科学、严谨的求学

态度，团队精神和合作意识，促进学生的相互交流、学习。

四、交流展示 目标达成

1.不解方程，求下列方程的两根的和与两根的积各是多少？

（1）x2-3x+1=0

（2）3x2-2x=2

2.已知方程x2-4x+M=0的一个根是-2，求方程的另3.已知x1 ，x2 是方程2x2-4x-1=0的两个实数根，求

教师巡视，随时发现问题、了解学生完成情况并一个根及M的值.

x12x22的值。

适时点拨、强调；充分利用现有设施设备，为学生搭建电子白板、实物投影、黑板等不同的展示自我的平台；适时评价、鼓励学生能多种方法解决问题，促进发散思维的培养。

设计意图：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的实践过程，即教学目标的达成、检测过程。设计了三个不同难度且有梯度的“目标”，让学生由易到难、由浅入深，加深对一元二次方程的根与系数的关系的理解和应用，强调学生对科学的严谨性和书写的规范性，培养学生对所学知识的应用意识和应用能力，以及合作学习意识与数学语言的表述能力。

五、查漏补缺 总结提高

请你谈谈本节课的收获或存在的问题. 教师鼓励学生谈所学所想所获，集体分享学习成果，归纳课堂所学知识点，解决学习中仍然存在的问题和困惑。

设计意图：本环节为本节课的总结提高过程。目的是帮助所有学生总结回顾、查漏补缺，形成知识体系，培养学生及时小结、善于归纳梳理的学习习惯，提高学生运用数学语言的能力和口头表达能力。

六、布置作业

1．教材P．33中A1．2．推导一元二次方程根与系数关系．

七、板书设计

一元二次方程根与系数的关系（一）

一元二次方程根与系数关系

关系的推应用（1）验根

导

（1）……

（2）……

……

……

（2）已知一根，

求另一根

八、教学反思

观察、归纳、证明是研究事物的科学方法此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程 a1的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值. 优点：教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便些.教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功能.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及两极之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程. 缺点：本节课教学设计注重开发学生的思维能力,但是学生理解很好，掌握起来却很困难。教师在今后的教学中应注意加强化繁为简的教学方法，也就是在课堂45分钟内的内容准备一定要充分、简单，使学生有成功感。还应注意锻炼学生们的动手能力，课堂内有充足的练习时间。